Предположения и опровержения. Рост научного знания

Учение Витгенштейна оказывается следствием тезиса, утверждающего, что все подлинные предложения (следовательно, все подлинные проблемы) можно разбить на два взаимоисключающих класса: фактуальные предложения (synthetic a posteriori), относящиеся к эмпирическим наукам, и логические предложения (analytic a priori), принадлежащие к чистой логике и математике. Эта простая дихотомия, весьма ценная для первичного исследования, для многих целей оказывается слишком простой¹⁴. Несмотря на то что она специально была предназначена для того, чтобы исключить существование философских проблем, она оказалась совершенно недостаточной для достижения этой цели. Даже если принять эту дихотомию, мы все еще можем считать, что фактуальные, логические или смешанные проблемы при некоторых обстоятельствах могут оказаться философскими.

IV

Теперь я обращаюсь к своему первому примеру: Платон и кризис раннего греческого атомизма.

Я утверждаю, что центральное философское учение Платона, его так называемую теорию форм или идей, нельзя правильно понять без обращения к внефилософскому кон-

131

тексту¹⁵, точнее говоря, вне контекста критической проблемной ситуации, возникшей в греческой науке¹⁶ (главным образом, в теории материи) в результате открытия иррациональности квадратного корня из двух. Если мое утверждение верно, то теория Платона до сих пор не была полностью понята. (Конечно, вопрос о том, можно ли вообще когда-нибудь получить «полное» понимание, является в высшей степени спорным.) Однако более важное следствие состоит в том, что она никогда не может быть понята философами, получившими свое образование посредством prima facie метода, описанного в предшествующем разделе, если, конечно, они специально и ad hoc не познакомились с соответствующими фактами. (Но в таком случае это означает отказ от prima facie метода изучения философии.)

Представляется весьма правдоподобным¹⁷, что и в своем происхождении, и в своем содержании теория форм Платона была тесно связана с учением пифагорейцев о том, что сущностью всех вещей являются числа. Однако детали этой связи и взаимоотношения между атомизмом и пифагорейством известны не очень хорошо. Поэтому я кратко остановлюсь здесь на этой истории и изложу ее так, как она мне представляется сегодня.

По-видимому, основатель пифагорейской школы испытал глубокое воздействие двух открытий. Первое заключалось в том, что такое prima facie совершенно качественное явление, как музыкальная гармония, опиралось, по сути дела, на чисто числовые соотношения 1:2; 2:3; 3:4. Второе открытие состояло в том, что «прямой» угол (получаемый, например, посредством сгибания листа так, чтобы складки образовали крест) был связан с чисто числовыми отношениями 3:4:5 или 5:12:13 (стороны прямоугольных треугольников). Вот эти два открытия привели пифагорейцев к несколько фантастическому обобщению, гласящему, что вещи по сути своей являются числами или числовыми соотношениями, что числа являются ratio (logos = reason), рациональной сущностью вещей или их подлинной природой.

132

Сколь бы фантастичной ни была эта идея, во многих отношениях она доказала свою плодотворность. Одним из наиболее успешных было ее применение к простым геометрическим фигурам — квадратам, прямоугольникам, равнобедренным треугольникам, а также к некоторым простым телам, например, пирамидам. Анализ некоторых из этих геометрических проблем опирался на так называемый гномон (gnцmцn).

Суть дела можно пояснить следующим образом. Если указать квадрат посредством четырех точек:

то его можно интерпретировать как результат добавления трех точек к одной, находящейся в левом верхнем углу. Эти три точки образуют гномон, который можно указать так:

Добавляя сюда второй гномон, состоящий из пяти точек, мы получаем:

Легко заметить, что множества добавляемых точек 1, 3, 5, 7... образуют гномон квадрата, что суммы 1,1 + 3,1 + 3 + 5,1 + 3 + 5 + 7... являются квадратами чисел и что если п (число точек) есть сторона квадрата, его площадь (общее число точек = п²) будет равна сумме первых добавленных чисел.

133

Точно так же можно истолковать равнобедренный треугольник. Следующая фигура представляет растущий треугольник — растущий благодаря добавлению новых горизонтальных наборов точек:

Здесь каждый гномон представляет собой горизонтальную линию точек и каждый элемент последовательности 1, 2, 3, 4... является гномоном.

«Треугольные числа» являются суммами 1 + 2; 1 + 2 + 3; 1 + 2 + 3 + 4и т.д., то есть суммами первых п натуральных чисел. Расположив два таких треугольника друг против друга,

мы получим параллелограмм с горизонтальной стороной п + 1, другой стороной п и содержащей п (п + I) точек. Поскольку он состоит из двух равнобедренных треугольников, его числом будет 2 (1 + 2 + ... + п), поэтому мы получаем равенство: