Предположения и опровержения. Рост научного знания

³⁶ А не «Об иррациональных отрезках и атомах», как я перевел в прим. 9 к гл. 6 моего «Открытого общества» (второе издание). Это название лучше было бы передать (рассматривая отрывок из Платона, упоминаемый в следующем примечании) как «О безумных отрезках и атомах». См.: Н. Vogt, Bibl. Math., 1910, 10, /47(против которого выступает Хит, op. cit., 156 и далее, но, как мне представляется, не вполне удачно), и S. Luria, op. cit., pp. 168, который убедительно доказывает, что в работах Аристотеля (De insec. lin., 968b 17) и Плутарха (De comm. Notit., 38, 2, p. 1078f.) имеются следы произведения Демокрита. Согласно этим источникам, Демокрит рассуждал следующим образом. Если отрезки бесконечно делимы, то они должны состоять из бесконечного числа единиц и, следовательно, все они соотносятся как оо : оо, т.е. все они «несопоставимы» (не имеют пропорций). В самом деле, если отрезки рассматривать как классы точек, то — согласно современным представлениям — кардинальное «число» (мощность) точек какого-либо отрезка будет одним и тем же для всех отрезков независимо от их конечности или бесконечности. Этот факт был назван «парадоксальным» (например, Больцано) и вполне мог быть оценен как «безумный» Демокритом. Можно заметить, что по мнению Брауэра даже классическая теория континуума приводит, по сути дела, к тем же результатам. Брауэр утверждает, что всякий классический континуум обладает нулевой мерой, так что отсутствие рациональности выражается здесь соотношением 0:0. Результат Демокрита (и его теория ameres) был неизбежен для геометрии, опиравшейся на пифагорейский арифметический метод, т.е. на подсчет точек.

³⁷ Это согласуется с фактом, упомянутым в примечании, взятом из «Открытого общества», относительно того, что термин «alogos» лишь гораздо позже стал использоваться как синоним «иррационального» и что Платон, ссылающийся на название труда Демокрита («Государство», 534), употребляет термин «alogos» в смысле «безумный». Насколько мне известно, он никогда не употреблял его как синоним «arrhetos».

³⁸Prodi Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum commentarii, ed. G. Friedlein, Leipzig, 1873, 7—21.

³⁹ См. Прокл, op. cit., pp. 428, 21-429, 8.

⁴⁰ История упоминает о некоем Гиппасе, фигуре достаточно туманной; говорят, он утонул в море (см. Diets, 4). См. также статью А. Вассерштейна, упомянутую в прим. 35 выше.

⁴¹ См. С. Луриа, в частности, о Плутархе, op. cit.

⁴² «Вторая аналитика», 76Ь9; «Метафизика», 983а20. См. также «Epinomis», 990d.

⁴³ Платон принимает теорию вихрей Демокрита (Diets, фрагмент 167, 164; См. Анаксагор, Diets (9 и 12, 13; см. также два следующих

164

примечания) и его теорию того, что сегодня мы назвали бы гравитационными явлениями (Diels, 164; Анаксагор, 12, 13, 15 и 2). Эта теория была несколько модифицирована Аристотелем и в конечном итоге отброшена Галилеем.

⁴⁴ Наиболее ясный отрывок находится в «Тимее», 80с, где говорится, что ни в случае с (натертым) янтарем, ни в случае с «гераклейским камнем» (магнитом) нет никакого реального притяжения; «пустоты не существует и вещи толкают друг друга». С другой стороны, у Платона нет ясности в этом вопросе, ибо его элементарные частицы (отличные от куба и пирамиды) не могут соединяться друг с другом без (пустого) пространства между ними, что отметил Аристотель в работе «О небе», 306Ь5. См. также примечание 22 выше (и «Тимей», 52е).

⁴⁵ Объединение Платоном атомизма и теории полноты (plenum) универсума («природа не терпит пустоты») играло важную роль в истории физики с древности до наших дней. Оно оказало большое влияние на Декарта, служило основой теории эфира и света и в конечном итоге через посредство Гюйгенса и Максвелла стало базисом волновой механики де Бройля и Шредингера. См. мой доклад в Atti d. Congr. Intern. Di Filosofla (1958), I960, pp. 367/.

⁴⁶ Исключение составляет новое появление арифметических методов в квантовой теории, например, в электронной теории периодической системы, опирающейся на принцип исключительности Паули; это обращение тенденции Платона к геометризации арифметики (см. ниже).

По поводу современной тенденции к «арифметизации геометрии» (которая никоим образом не характерна для всех современных работ в области геометрии) или анализа следует заметить, что она мало похожа на подход пифагорейцев, поскольку основным средством здесь являются множества или бесконечные последовательности, а не сами натуральные числа.