Приглашение в теорию чисел

где p₁, p₂ …. р_r — различные простые множители числа n, причем число p₁ входит α₁ раз, p₂ входит α₂ раз и т. д.

Если мы знаем вид (3.2.1) для числа, то мы сможем тотчас же ответить на некоторые вопросы об этом числе.

Например, если мы захотим, то можем узнать, какие числа делят число n. Возьмем для примера рассмотренное выше число 3600. Предположим, что число d является одним из его делителей, т. е.

3600 = d • d₁.

Приведенное разложение на простые множители показывает, что единственными числами среди множителей числа d будут лишь 2, 3, 5. Кроме того, число 2 может содержаться не более 4 раз, а числа 3 и 5 не более, чем по 2 раза каждое. Итак, мы видим, что возможными делителями числа 3600 будут числа вида

d = 2^δ₁ • 3^δ₂ • 5^δ₃,

при этом показатели степени могут принимать значения:

δ₁ = 0, 1, 2, 3, 4;

δ₂ = 0, 1, 2;

δ₃ = 0, 1, 2.

Так как эти значения могут сочетаться всеми возможными способами, то число делителей равно

(4 + 1)•(2 + 1)•(2 + 1) = 5 • 3 • 3 = 45.

Для любого числа n, разложение которого на простые множители дается формулой (3.2.1), положение точно такое же. Если число d является делителем числа n, т. е.

n = d • d₁

то единственными простыми числами, на которые может делиться число d, будут только те, которые делят число n, а именно: p₁…, р_r. Таким образом, мы можем записать разложение числа d на простые множители в виде

d = p₁^δ₁ • p₂^δ₂ • …. • р_r^α_r, (3.2.2)

Простое число p₁ может содержаться не более α₁ раз, как и в самом числе n; аналогично — для p₂ и других простых чисел. Это значение для числа δ₁ мы можем выбрать α₁ + 1 способом:

δ₁ = 0, 1…, α₁;

аналогично и для других простых чисел. Так как каждое из α₁ + 1 значений, которые может принимать число δ₁, может сочетаться с любым из α₂ + 1 возможных значений числа δ₂ и т. д., то мы видим, что общее число делителей числа n задается формулой

τ(n) = (α₁ + 1) (α₂ + 1)… (α_r + 1). (3.2.3)

Система задач 3.2.

1. Сколько делителей имеет простое число? Сколько делителей имеет степень простого числа р^α?

2. Найдите количество делителей у следующих чисел: 60, 366, 1970, вашего почтового индекса.

3. Какое натуральное число (или числа), не превосходящее 100, имеет наибольшее количество делителей

§ 3. Несколько задач о делителях

Существует единственное число n = 1, которое имеет только один делитель. Числами с ровно двумя делителями являются простые числа n = р: они делятся на 1 и на р. Наименьшим числом, имеющим два делителя, является, таким образом, р = 2.

Исследуем числа, имеющие ровно 3 делителя. В соответствии с (3.2.3) имеем

3 = (α₁ + 1) (α₂ + 1)… (α_r + 1).

Так как 3 — простое число, то справа может существовать лишь один множитель, не равный 1. Отсюда r = 1, a α₁ = 2. Таким образом,

n = p₁².

Наименьшим числом с 3 делителями является n = 2² = 4. Это соображение, примененное к общему случаю, когда число делителей q является простым числом, позволяет получить, что

q = α₁ + 1, т. е. α₁ = q — 1 и n = р₁^q-1;

наименьшим из таких чисел является

n = 2^q-1.

Рассмотрим следующий случай, когда существует ровно 4 делителя. Тогда соотношение

4 = (α₁ + 1) (α₂ + 1),

возможно только тогда, когда

α₁ = 3, α₂ = 0 или α₁ = α₂ = 1.

Это приводит к двум возможностям:

n = p₁³, n = p₁  p₂;

наименьшее число с 4 делителями — это n = 6.

В том случае, когда имеется 6 делителей, должно выполняться соотношение

6 = (α₁ + 1) (α₂ + 1),

что возможно лишь тогда, когда

α₁ = 5, α₂ = 0 или α₁ = 2, α₂ = 1.

Это дает две возможности:

n = p₁⁵, n = p₁² p₂;

при этом наименьшее значение имеет место в последнем случае, когда

p₁ = 2, p₂ = 3, n =12.

Этот метод можно использовать для вычисления наименьших натуральных чисел, имеющих любое заданное количество делителей.

Существуют таблицы, указывающие количество делителей для различных чисел. Они начинаются следующим образом:

Вы легко можете ее самостоятельно продолжить.

Будем говорить, что натуральное число n является сверхсоставным, если количество делителей у каждого числа, меньшего n, меньше, чем количество делителей у числа n. Глядя на нашу небольшую таблицу, мы видим, что

1, 2, 4, 6, 12

являются первыми пятью сверхсоставными числами. О свойствах этих чисел известно еще очень мало.

Система задач 3.3.

1. Взвод из 12 солдат может маршировать 6-ю различными способами: 12 × 1, 6 × 2, 4 × 3, 3 × 4, 2 × 6, 1 × 12. Какую наименьшую численность должны иметь группы людей, которые могут маршировать 8, 10, 12 и 72 способами?

2. Найдите наименьшие натуральные числа, имеющие: а) 14 делителей, б) 18 делителей ив) 100 делителей.

3. Найдите два первых сверхсоставных числа, следующих за числом 12.

4. Охарактеризуйте все натуральные числа, количество делителей которых является произведением двух простых чисел.

§ 4. Совершенные числа