Приключения математика

«А сейчас я отступлю от этого текста, который совершенно случайно вчера попал мне под руку. Вышенаписанное есть дословный отрывок из письма Д’Аламбера к мадемуазель де Леспинас, написанного около двухсот лет назад!» (Д’Аламбер был знаменитым французским математиком и энциклопедистом восемнадцатого столетия.) Франсуазу это очень посмешило.

Около тридцати лет пролетело, с тех пор как я переписал это небольшое послание. Добавляя последний штрих, скажу, что я, не слишком, как мне кажется, изменившись с тех пор, обладаю еще одной чертой, о которой не упомянул Д’Аламбер: si parva magnis comparare licet — моя известная нетерпимость. Под ее властью я прожил всю свою жизнь. С годами она, возможно, растет. (Если бы вдруг явились Эйнштейн и Кантор и начали бы меня наставлять, я отнесся бы к этому неоднозначно, как школьник — с одной стороны, желая получить знания, а с другой стороны, перескочить через класс.) До сих пор с большим удовольствием читая лекции, выступая с докладами или участвуя в дискуссиях, я чувствую все меньшую и меньшую способность сидеть и наблюдать часами, как это делают другие. Как я сказал как-то своим товарищам, я «словно старый боксер, который все еще может раздавать тумаки, но больше не в состоянии получать их сам». Это вызвало у них приступ гомерического хохота.

Глава 15. Беспорядочные размышления о математике и науке

Эта глава будет несколько отлична по содержанию от предшествующего ей рассказа о моих «приключениях» и об ученых, которых я знал. В ней я совершил попытку собрать, обозреть и, в некоторых случаях, дополнить некоторые общие идеи, которых я лишь слегка коснулся на протяжении этой книги. Хотелось бы надеяться, что в своей беспорядочности эти размышления подарят читателю возможность лишний раз соприкоснуться с многообразием аспектов науки и особенно связью математики с другими науками. Здесь будет сказано лишь «об основе основ». Ежели читателю интересны подробности, то единственное, что я могу сделать — это предложить ему прочесть некоторые из моих научных публикаций по наиболее общим вопросам.

Что конкретно есть математика? Многие пытались, но никому на самом деле не удалось дать ей определение; математика — это всегда что-то еще. Люди знают, что она, грубо говоря, имеет дело с числами и цифрами, с моделями, отношениями, операциями и что ее формальные процедуры, включающие аксиомы, доказательства, леммы и теоремы не изменились со времен Архимеда. Также им известно, что математика претендует на звание основы всего рационального мышления.

Некоторые могли бы сказать, что это внешний мир снабдил наше мышление — то есть работу человеческого мозга — тем, что сейчас называют логикой. Другие — философы и ученые — говорят, что логическое мышление (мыслительный процесс?) есть плод внутренних совершенствований разума, которые в процессе эволюции развивались «независимо» от деятельности внешнего мира. Очевидно, что математика связана и с тем, и с другим. Она, вероятно, представляет собой язык, который служит как для описания внешнего мира, так и для самоанализа, возможно, даже в большей степени. Ведь в своем эволюционном переходе от более примитивной нервной системы, мозг как орган, состоящий из десяти или более миллиардов нейронов и намного более огромного числа связей между ними, изменялся и увеличивался, скорее всего, в результате множества обстоятельств.

Само существование математики объясняется существованием утверждений или теорем, которые очень просто сформулировать, но доказательства которых требуют страниц и страниц объяснений. Почему все происходит именно так, не знает никто. Но простота многих таких утверждений представляет как эстетическую ценность, так и философский интерес.

На протяжении всего развития математики ее эстетическая сторона представляла самое большое значение. Не так важно, насколько полезна теорема, куда важнее то, насколько она изящна. Отдать должное эстетической ценности математики со всей полнотой могут лишь немногие «нематематики» и даже ученые из других областей, но для тех, кто ею занимается, эта ценность неоспорима. Можно, однако, рассуждать и о невзрачной стороне математики. Эта невзрачность связана с тем, что в математике необходима крайняя щепетильность, уверенность в каждом сделанном шаге. В математике нельзя останавливаться, ведя большой и широкой кистью. Все детали нужно охватывать одновременно.

«Математика — это язык, в котором нет места неточным и туманным высказываниям» — это слова Пуанкаре, которые он произнес, если я не ошибаюсь, во время своей речи о мировой науке в Сан-Луи очень много лет назад. Приводя пример влияния языка на мышление, он описал, как менялись его ощущения, когда он говорил не по-французски, а по-английски.