Примени математику

40= 2*15 + 10, можно вырезать два. Из оставшегося прямоугольника размером 15*10 вырезан один квадрат со стороной 10, что соответствует делению 15 на 10 с остатком:

15 = 1*10 + 5. Наконец, последний прямоугольник размером 10*5 разрезан на два квадрата со стороной 5, так как

10 = 2*5. Как показывает приведенный анализ, рассмотренный способ разрезания на квадраты прямоугольника размером а₁*а₂, по существу, является демонстрацией алгоритма Евклида нахождения наибольшего общего делителя пары чисел а₁ = 135 и а₂ = 40. Вообще прямоугольник размером а₁*а₂ можно разрезать на квадраты со сторонами а₂, а₃, а₄, ..., а_n+1 в полном согласии с формулами алгоритма Евклида (см. задачу 5.3), причем последовательные частные q₁, q₂, ..., q_n укажут количества соответствующих квадратов.

5.7. Цепочку равенств, получающихся при нахождении наибольшего общего делителя пары чисел а₁ и а₂ с помощью алгоритма Евклида (см. задачу 5.3), перепишем следующим образом:

Подставляя в первую строчку вместо дроби ^а₂/_а3 ее выражение из второй строчки, находим

Подставляя сюда вместо дроби ^а₃/_а4 ее выражение из третьей строчки, имеем

Производя аналогичные подстановки и далее, из предпоследней строчки получим равенство

в котором останется лишь подставить вместо дроби ее значение q_n из последней строчки, после чего выражение будет удовлетворять всем требованиям задачи: все числа q₂, q₃, ..., q_n являются натуральными, так как а₂>а₃>...>a_n-1>a_n>a_n+1, а число q₁ является целым (если a₁≥a₂, то натуральным, а если а₁<а₂, то нулевым).

5.8.

5.9. Последовательные операции по свертыванию цепной дроби сводятся к операциям двух типов: сложение и деление . Докажем, что если ^a/_b несократимая дробь, то в результате операции любого из указанных двух типов получается также несократимая дробь. Действительно, операция первого типа приводит к дроби , числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей, поскольку (см. решение задачи 5.2) справедливы равенства (qb + a, b) = (b, a) = 1. Операция второго типа приводит к дроби ^b/_a которая также несократима, ибо (a, b) = (b, а) = 1. Таким образом, раз дробь ¹/_qn несократима, то на каждом шагу, в том числе и на последнем, при свертывании цепной дроби мы получаем несократимую дробь.

Например, для заданной в задаче сократимой дроби имеем

5.10. Для дроби

имеем следующие подходящие дроби:

5.11. Решение этой задачи может показаться на первый взгляд совсем очевидным, поскольку для любой дроби ^a/_b можно сначала соединить параллельно b единичных сопротивлений, получив сопротивление, равное ¹/_b, а затем размножить эту схему в а экземплярах, соединив их последовательно. При этом в конечном счете нам понадобится а*b единичных сопротивлений. Например, для такого решения п. а) их нужно 7*2 = 14 штук, а для решения п. б) -10*7 = 70 штук. Как показывает приводимое ниже решение, этот очевидный способ далеко не самый экономный: в п. а) достаточно иметь всего 5, а в п. б) - 6 сопротивлений.

Рис. 6

а) Соединив параллельно два единичных сопротивления, получим сопротивление ¹/₂. Присоединив к нему последовательно еще три единичных сопротивления, мы получим сопротивление (рис. 6).

б) С учетом разложения требуемое сопротивление можно получить следующим образом: соединим последовательно одно единичное сопротивление и блок, в котором параллельно соединены три сопротивления - два единичных и блок из трех последовательных единичных сопротивлений (рис. 7). Тогда сопротивление второго блока будет равно 3, а первого - будет равно Общее же сопротивление как раз и будет составлять ¹⁰/₇.

Рис. 7

в) Пусть дробь ^a/_b разложена в цепную дробь (см. задачу 5.7)

Тогда соединим последовательно q₁ единичных сопротивлений и первый блок, в котором соединим параллельно q₂ единичных сопротивлений и второй блок, в котором соединим последовательно q₃ единичных сопротивлений и третий блок и т. д. Так, чередуя последовательное и параллельное соединения при составлении каждого последующего блока, мы на предпоследнем шаге соединим последовательно или параллельно q_n-1 единичных сопротивлений и (n-1)-й блок, в котором соединим, наоборот, параллельно или последовательно q_n единичных сопротивлений. Всего нам понадобится q₁ + q₂ + ... + q_n сопротивлений, что, как правило, меньше, чем a*b.

Докажем, что полученная схема имеет сопротивление ^a/_b. Если мы временно отсоединим от цепи весь первый блок, то сопротивление будет равно q₁, т. е. первой подходящей дроби к данной цепной дроби. Если временно отсоединим от цепи не первый, а второй блок, то сопротивление неполного первого блока будет равно ¹/_q2 и общее сопротивление будет равно т. е. второй подходящей дроби. Если отсоединим от цепи не второй, а третий блок, то сопротивление неполного второго блока будет равно q₃, первого -