Примени математику

6.10. Сколько нужно банок? Требуется разлить 20,5 литра сока в банки по 0,7 л и 0,9 л так, чтобы все банки оказались полными. Сколько каких банок надо заготовить? Какое наименьшее количество банок при этом может понадобиться?

6.11. Частное решение Докажите, что уравнение

ax + by = c

с взаимно простыми коэффициентами а и b имеет решение

где - предпоследняя подходящая дробь к цепной дроби, в которую раскладывается дробь ^a/_b (см. задачи 5.7, 5.10, 5.12).

6.12. Загрузка трехтонок Для перевозки большого количества контейнеров по 170 кг и по 190 кг выделены трехтонные машины. Можно ли ими загружать машины полностью?

6.13. Целые точки на прямой Сколько точек с целочисленными координатами, удовлетворяющими неравенствам х<0 и y>0, лежит на прямой

8x - 13y + 11 = 0?

6.14. Наименьшим числом У продавца имеются 100-граммовые гирьки и консервные банки весом по 450 г. Как с их помощью отвесить на чашечных весах 2,5 кг сахарного песка за один раз, используя для взвешивания наименьшее количество гирек и банок в общей сложности?

Решения

6.1. Пусть нужно уплатить денежную сумму в n рублей. Если число n делится на 3, то эту сумму можно уплатить одними трехрублевыми купюрами. Если остаток от деления числа n>7 на 3 равен 1, то

причем 3q + 1>7, откуда q>2 и, значит, в этом случае сумму можно уплатить q-3 трехрублевыми купюрами и двумя пятирублевыми. Если же остаток от деления числа n>7 на 3 равен 2, то

причем 3q + 2>7, откуда q>1 и, значит, в этом случае сумму можно уплатить q-1 трехрублевыми купюрами и 1 пятирублевой.

6.2. Если у кассира нет ни одной пятирублевой купюры, то покупатель может заплатить за покупку стоимостью в n рублей только при условии, что число n кратно 3. Если у кассира есть 1 пятирублевая купюра, то. покупатель может заплатить за покупку только при условии, что число n либо кратно 3, либо дает остаток 1 при делении на 3 (в последнем случае покупатель платит на 5 рублей больше и получает 5 рублей сдачи: n = 3q + 1 = 3(q + 2) - 5). Наконец, если кассир имеет 2 пятирублевые купюры, то покупатель может заплатить за покупку при любом значении n (в случае, когда остаток от деления числа n на 3 равен 2, покупатель может заплатить на 10 рублей больше и получить 10 рублей сдачи:

Таким образом, в условиях задачи кассир должен иметь минимум 2 пятирублевые купюры.

6.3. Пусть (a, b) = d и число с не делится на d. Тогда если уравнение ax + by = c имеет целочисленное решение x = x₀, y = y₀, то справедливо числовое равенство ax₀ + by₀ = c, в котором левая часть делится на d (ибо числа а и b кратны d), а правая нет. Полученное противоречие доказывает, что указанное уравнение в целых числах не может иметь решений.

6.4. Если сумму в 1000 рублей можно набрать с помощью х, y и z купюр достоинством в 1 рубль, 10 рублей и 100 рублей соответственно, то справедливо равенство x + 10y + 100z = 1000. Если к тому же всего купюр должно быть x + y + z = 40, то целые числа x и y должны удовлетворять уравнению (40 - y - z) + 10y + 100z = 1000, или 9y + 99z = 960. Согласно утверждению задачи 6.3, последнее уравнение в целых числах не имеет решений, так как число 960 не делится на наибольший общий делитель пары чисел 9 и 99, равный 9.

6.5. Задача сводится к решению уравнения

в целых неотрицательных числах. Заметим, что число y не может быть равным 0, так как иначе уравнение

в целых числах имело бы решение, что противоречило бы утверждению задачи 6.3 (ибо число 140 не делится на число (16, 40)=8). Далее, число х также не может быть равным 0, так как иначе было бы выполнено равенство 17y = 140 - 40z = 10(14 - 4z) и неотрицательное число 14 - 4z делилось бы на 17 при целом неотрицательном значении z, что невозможно. Наконец, число z также не может быть равным 0, так как иначе из равенства 17y = 140 - 16x = 4(35 - 4x) следовало бы, что число 35 - 4x кратно 17 при x>0, что невозможно.

Таким образом, числа x, y, z должны быть положительными, а числа х' = х - 1, y' = y - 1, z' = z - 1 - целыми неотрицательными, удовлетворяющими уравнению

16x' + 17y' + 40z' = 67.

Аналогичные рассуждения показывают, что y'≠0 и х'≠0, т. е. числа х" = х' - 1 и y" = y' - 1 должны удовлетворять уравнению

16x" + 17y" + 40z' = 34,