Примени математику

и общее сопротивление будет равно третьей подходящей дроби. Продолжая эти рассуждения до конца, мы придем к тому, что если отсоединить только (n-1)-й блок, то общее сопротивление будет равно (n-1)-й подходящей дроби. Наконец, если ничего не отсоединять, то общее сопротивление будет равно последней подходящей дроби, т. е. самой цепной дроби, равной ^a/_b.

5.12. а) Так как - несократимая дробь, то P₁ = q₁, Q₁ = 1. Так как - несократимая дробь, то P₂ = q₁q₂ + 1, Q₂ = q₂. Для k = 3 получаем

откуда имеем Р₃ = Р₂q₃ + Р₁, Q₃ = Q₂q₃ + Q₁, т. е. при k = 3 формулы справедливы, Пусть они уже доказаны для значения k-1:

Тогда, заменяя q_k-1 выражением мы из дроби получим k-ю подходящую дробь

откуда имеем P_k = Р_k-1q_k + Р_k-2, Q_k = Q_k-1q_k + Q_k-2, т.е. формулы справедливы и для значения k (несократимость каждой из дробей была доказана в решении задачи 5.9).

б) В силу формул п. а) при k = 2, ..., n имеем

Поэтому для любого значения k = 2, ..., n получаем

что и требовалось доказать,

5.13. Если бы мы захотели приблизить данную дробь десятичной дробью то для достижения заданной точности потребовалось бы подобрать значения a и k из неравенства Проверка дробей показывает их непригодность и убеждает нас в том, что такой перебор значений весьма затруднителен, да и вряд ли приведет к успеху".

Попробуем приблизить данную дробь с помощью подходящих дробей к цепной дроби

Первая подходящая дробь ³/₁ дает погрешность а значит, не годится. Зато вторая подходящая дробь, равная ²²/₇, отличается от третьей, равной исходной дроби, на величину

(см. соотношение п. б) задачи 5.12 при k = 3). Таким образом, шестеренки с 22 и 7 зубьями удовлетворяют всем условиям задачи.

§ 6. По следам Диофанта

Самые разные задачи практического содержания часто приводят к уравнениям, в которых неизвестные по своему смыслу могут принимать только целочисленные значения. Уравнения в целых числах рассматривались еще в глубокой древности. Особенно много ими занимался александрийский математик Диофант, имя которого и носят уравнения в целых числах.

Простейшим примером диофантова уравнения служит линейное уравнение

ax + by = c в целых числах (естественно, с целыми коэффициентами а, b и с). Оно может быть решено разными способами. Но, пожалуй, наиболее универсальный способ тесно связан, как это ни странно, с алгоритмом Евклида и цепными дробями (см. § 5).

6.1. Без сдачи Докажите, что любую денежную сумму, выраженную целым числом рублей, большим 7, можно уплатить без сдачи, имея лишь трехрублевые и пятирублевые купюры в достаточном количестве.

6.2. Оплата покупки Докажите, что за любую покупку стоимостью в целое число рублей можно заплатить одними трехрублевыми купюрами, если у кассира имеются только пятирублевые купюры. Какое наименьшее количество пятирублевых купюр достаточно при этом иметь кассиру?

6.3. Необходимое условие разрешимости Пусть а, b, с - ненулевые целые числа. Докажите, что если число с не делится на наибольший общий делитель пары чисел а и b, то уравнение ах + bу = с в целых числах не имеет решений.

6.4. Сорока купюрами Можно ли набрать сумму в 1000 рублей с помощью купюр достоинством в 1 рубль, 10 рублей, 100 рублей таким образом, чтобы всего было использовано ровно 40 купюр?

6.5. Затруднение кладовщика На складе имеются гвозди, упакованные в ящики по 16 кг, 17 кг и 40 кг. Может ли кладовщик отпустить 140 кг гвоздей, не вскрывая ни одного ящика?

6.6. Линейные диофантовы уравнения Покажите, как свести решение уравнения

ax + by = c

в целых числах с ненулевыми целыми коэффициентами а, b, с к решению уравнения

a'x + b'y = c'

в целых числах, коэффициенты а', b', с' которого являются натуральными числами, причем числа а' и b' взаимно просты.

6.7. Состав с углем На станцию привезли 420 т угля в вагонах вместимостью по 15 т, по 20 т и по 25 т. Сколько каких вагонов было использовано, если известно, что всего было 27 вагонов?

6.8. Общее решение Пусть пара чисел x = x₀, y = y₀ удовлетворяет уравнению

ax + by = c

в целых числах с взаимно простыми коэффициентами а и b. Докажите, что формулы

x = x₀ + bk, y = y₀ + ak

с целым параметром k задают все решения этого уравнения,

6.9. Сколько нужно мешков? Для перевозки зерна имеются мешки, в которые входит либо 60 кг, либо 80 кг зерна. Сколько надо заготовить тех и других мешков для загрузки 1 т зерна таким образом, чтобы все мешки были полными? Какое наименьшее количество мешков при этом может понадобиться?