Примени математику

Для доказательства этого заметим, что линия сгиба EF, будучи серединным перпендикуляром к высоте AD, является средней линией треугольника ABC. Поэтому имеют место равенства DE = AE = BE, DF = AF = CF, т. е. треугольники BED, CFD равнобедренные и

а значит, произведенные выше перегибания этих треугольников действительно приведут к указанным совмещениям.

17.15. Один из возможных способов перегибания страницы изображен на рис. 100.

Рис. 100

17.16. После каждого перегибания периметр фигуры не увеличивается. Действительно, при наложении одной части фигуры на другую появляется новая часть периметра, а именно линия сгиба. Однако другая часть периметра исчезает, т. е. оказывается внутренней для полученной фигуры. Исчезающая часть периметра содержит ломаную, соединяющую концы линии сгиба, или несколько таких ломаных, если линия сгиба не сплошная (рис. 101). Таким образом, добавляемая часть периметра никогда не превосходит его теряющейся части, поэтому периметр не увеличивается при однократном и, стало быть, при многократном складывании бумажного многоугольника.

Рис. 101

17.17. Пусть полоска имеет ровный торец АВ, перпендикулярный краю полоски (рис. 102). Перегнув ее по биссектрисе угла А, мы получим квадрат ABA₁В₁. Перегнув оставшуюся часть полоски с торцом A₁B₁ по биссектрисе угла А₁, мы получим квадрат А₁В₁А₂В₂.

Рис. 102

Действуя в таком же духе и далее, мы найдем точки А₃, В₃, А₄, В₄, А₅, В₅. Теперь обрежем полоску по линиям AА₁ и А₄А₅ и получим параллелограмм AА₁А₅А₄, который можно сложить так, как показано на рис. 103 (полученный при этом квадрат АА₁А₂А₃ даже не будет распадаться).

Рис. 103

17.18. Пусть полоска имеет ровный торец АВ, перпендикулярный краю АЕ полоски (рис. 104). Проведем серединный перпендикуляр к отрезку АВ и перегнем полоску по некоторой линии АС так, чтобы точка В совместилась с какой-то точкой D серединного перпендикуляра. Тогда треугольник ABD равносторонний (ибо AB = AD = BD) откуда ∠ BAD = 60° и ∠ CAE = ∠ DAE + ∠ CAD = (90° - ∠ BAD) + ∠ BAD = 60°. Перегибая полоску по перпендикуляру к краю АЕ, проходящему через точку С, получаем равносторонний треугольник ACB₁. Перегибая полоску по перпендикуляру к краю АЕ, проходящему через точку B₁, получаем равносторонний треугольник СВ₁А₁.

Рис. 104

Действуя в таком же духе и далее, мы найдем точки С₁, В₂, A₂, С₂, В₃, A₃, С₃. Теперь отрежем полоску по линиям AС, A₃С₃ и получим трапецию АСА₃С₃, которую можно сложить так, как показано на рис. 105 (полученный при этом шестиугольник ACA₁C₁A₂C₂ даже не будет распадаться).

Рис. 105

17.19. Заметим, что при перегибании бумажной полоски с параллельными краями по некоторой поперечной линии АЕ внутренние накрест лежащие равные углы AED и EAF (рис. 106) превращаются в односторонние, но по-прежнему равные углы AED и ЕАВ. По этой причине имеем равенства

Рис. 106

В силу параллельности прямых АС и ED, ЕС и АВ, AD и ВС, BE и CD заключаем, что четырехугольники ABCD, АВСЕ, ACDE и BCDE являются трапециями, причем две последние равнобедренными, а четырехугольник BCDO является параллелограммом с одинаковыми высотами (равными ширине полоски), т. е. ромбом. Поэтому имеем

откуда получаем ∠ AED = ∠ CDE, AE = CD, а значит, все стороны пятиугольника ABCDE равны между собой и все его углы одинаковы. Мы доказали, что пятиугольник, образующийся в узле бумажной полоски, правильный.

§ 18. Имеет ли фигура нужную форму?

Приходилось ли вам вырезать из бумаги, материи или фанеры какие-либо геометрические фигуры? Если да, то после каждого такого вырезания вы, наверняка, испытывали желание проверить, получилась ли фигура такой, какая вам нужна. Подобные вопросы часто возникают при работе столяра, строителя, портного, чертежника и т. д. В настоящем параграфе вы познакомитесь с некоторыми практическими способами проверки свойств плоских или пространственных фигур.

Какие требования мы предъявляем к самой проверке? Прежде всего - однозначность, т. е. возможность по результатам проверки с полной определенностью ответить на вопрос, удовлетворяет или не удовлетворяет данная фигура желаемому свойству. Например, чтобы проверить, является ли данный четырехугольник, вырезанный из фанеры, равнобедренной трапецией, не достаточно установить одно лишь равенство двух его противоположных сторон, хотя оно и имеет место для любой равнобедренной трапеции.