Примени математику

18.13. Вогнутость и выпуклость поверхности Для того чтобы проверить, нет ли на гладкой поверхности стола каких-либо вогнутостей, можно натянуть руками обыкновенную нитку и, прижимая пальцами ее концы к разным точкам стола, установить, нет ли просвета между ниткой и поверхностью (рис. 111).

Рис. 111

На чем основана эта проверка? Годится ли она для отыскания на гладкой поверхности стола каких-либо выпуклостей?

18.14. Перпендикулярность плоскостей Вы хотите проверить, перпендикулярны ли друг другу соседние стены в вашей комнате. Как воспользоваться для этого теоремой Пифагора?

18.15. Параллельность плоскостей Вы хотите проверить, параллельны ли друг другу стены коридора. Нельзя ли это сделать с помощью измерительной ленты или просто достаточно длинной палки?

18.16. Признаки трапеции Какие из следующих действий имеет смысл выполнить, чтобы однозначно установить параллельность двух данных противоположных сторон четырехугольника:

а) соединить отрезком середины двух данных сторон и убедиться в том, что этот отрезок проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника;

б) проверить, что полусумма двух данных сторон равна расстоянию между серединами двух других сторон четырехугольника?

Используя ответ на предыдущий вопрос задачи, придумайте способ проверки того, что данный четырехугольник является трапецией.

18.17. Признаки параллелограмма Какие из следующих свойств четырехугольника выполнены в том и только в том случае, если этот четырехугольник является параллелограммом:

а) противоположные стороны четырехугольника попарно равны;

б) две противоположные стороны четырехугольника равны, а две другие его стороны параллельны;

в) каждая из диагоналей четырехугольника делится точкой их пересечения пополам?

18.18. Ромб ли это? На плоскости даны четыре точки А, В, С, D, про которые известно только, что AB = BC = CD = DA. Можно ли утверждать, что точки А, В, С, D являются вершинами некоторого ромба?

18.19. Признаки прямоугольника Достаточно ли для проверки того, что все углы данного четырехугольника являются прямыми, установить одно из следующих свойств:

а) равенство двух противоположных сторон четырехугольника и равенство его диагоналей;

б) попарное равенство противоположных сторон и равенство его диагоналей;

в) равенство всех четырех отрезков, на которые разбиваются диагонали четырехугольника точкой их пересечения?

18.20. Признаки квадрата Какие из следующих свойств четырехугольника выполнены в том и только в том случае, если этот четырехугольник является квадратом:

а) равенство всех четырех сторон четырехугольника;

б) равенство всех четырех сторон четырехугольника и равенство его диагоналей;

в) равенство трех сторон четырехугольника и равенство его диагоналей?

18.21. Правильность равностороннего многоугольника Пусть все стороны многоугольника равны между собой. Будет ли он обязательно правильным, если выполнено одно из следующих условий:

а) около этого многоугольника можно описать окружность;

б) в этот многоугольник можно вписать окружность?

18.22. По одним лишь диагоналям Верно ли, что если в пятиугольнике равны все пять диагоналей, то он является правильным?

18.23. Правильность пятиугольника Пусть все стороны выпуклого пятиугольника равны между собой. Устанавливая равенство каких-то из его диагоналей, вы хотите убедиться в том, что этот пятиугольник является правильным.

Какое наименьшее число диагоналей вам нужно проверить?

18.24. О правильности и неправильности Докажите, что если в выпуклом шестиугольнике равны все стороны, а все три его главные диагонали (т. е. такие, которые разбивают его на два четырехугольника) пересекаются в одной точке, то этот шестиугольник может и не быть правильным. Будет ли он правильным, если добавить одно из следующих условий:

а) каждая из главных диагоналей делится точкой их пересечения пополам;

б) все шесть отрезков, на которые разбиваются главные диагонали точкой их пересечения, равны между собой;

в) все три главные диагонали равны между собой, а все его неглавные диагонали разбиваются на тройки равных диагоналей, образующих треугольники?

18.25. Правильность шестиугольника Пусть все стороны выпуклого шестиугольника равны между собой. Устанавливая равенство каких-то из его диагоналей, вы хотите убедиться в том, что этот шестиугольник является правильным.

Какое наименьшее число диагоналей нужно проверить?

Решения