Примени математику

18.10. Перегнув материю поперек тех двух ее краев, параллельность которых подлежит проверке, мы можем совместить один край ЕА с его продолжением ЕВ по общей их части (рис. 117), а затем проверить, совместился ли при этом другой край FC с его продолжением FD по общей их части (мы подразумеваем, что линия перегиба EF пересекает оба исследуемых края материи). Если на другом крае произошло совмещение, то прямые АВ и CD параллельны, так как перпендикуляр EF к прямой АВ (углы AEF и BEF равны в силу их симметрии) в этом случае является одновременно и перпендикуляром к прямой CD (углы CFE и DFE также равны в силу их симметрии). Если же на другом крае совмещения не произошло, то прямые АВ и CD не параллельны, так как отрезок EF в этом случае перпендикулярен прямой АВ, но не перпендикулярен прямой CD.

Рис. 117

Теперь найдем указанным способом все пары параллельных противоположных сторон данного четырехугольного куска материи. Если таких пар окажется две, то этот кусок имеет форму параллелограмма, если одна - то трапеции, а если ни одной - то ни то, ни другое. 18.11, Пусть угол А является наибольшим углом треугольника ABC (определить его можно, например, описанными ниже перегибаниями, позволяющими непосредственно сравнивать по величине любые два угла треугольника). Перегнем материю по линии EF (рис. 118) так, чтобы точка С совместилась с точкой А.

Рис. 118

Перегнем материю, не разворачивая после первого перегиба, по линии FG так, чтобы в результате луч FB совместился с лучом FC. Тогда если после этих двух перегибов точки В и С совместились, то угол А прямой, если отрезок FC оказался длиннее отрезка FB, то угол А острый (рис. 119), а если наоборот, то угол А тупой (рис. 120).

Рис. 119

Докажем последнее утверждение. Если точки В и С совместились, то AF = BF = CF и поэтому точки А, В и С лежат на окружности с центром F и диаметром ВС, откуда угол САБ прямой. Если AF = CF = BF, то возьмем на луче FB точку D, удовлетворяющую равенству DF = CF и, следовательно, по доказанному образующую прямой угол DAC. В случае BF имеем ∠ ВAС<∠ DAС = 90°, а в случае BF&362;Df имеем ∠ BAC > ∠ DAC = 90°, что и требовалось доказать.

Рис. 120

18.12. Чтобы убедиться в вертикальности шеста (рис. 121), достаточно проверить, что шест находится в одной плоскости с некоторой вертикальной линией, а также в одной (другой) плоскости с некоторой другой вертикальной линией. Указанную проверку можно осуществить с помощью отвеса (бечевки с грузиком на конце): если расположить его перед собой так, чтобы верхние концы отвеса и шеста оказались на одной линии с глазом, то линии отвеса и шеста должны зрительно совпасть.

Рис. 121

Для обоснования этого способа проверки заметим, во-первых, что вертикальный шест должен лежать в одной плоскости с любой вертикальной прямой, а, во-вторых, если две параллельные прямые лежат в двух пересекающихся плоскостях соответственно, то эти прямые параллельны и линии пересечения плоскостей.

18.13. Проверка основана на свойстве плоскости содержать вместе с любыми двумя точками прямую, через них проходящую. Однако описанная проверка не позволяет отличить выпуклую поверхность от ровной, так как и у той, и у другой поверхности не будет никакого просвета с ниткой (просвет был бы возможен, если бы нитка могла пройти сквозь поверхность). Для исправления этой проверки можно предложить контролировать себя легким поднятием одного конца нитки: если при этом нитка прикасается к плоскости только другим своим концом, то выпуклости не наблюдается, если же она прикасается где-то в промежуточной точке между концами, то выпуклость есть (рис. 122).

Рис. 122

18.14. Будем предполагать, что стены в комнате вертикальны, а пол горизонтален (рис. 123). Отложим по нижнему краю стен от точки А, лежащей на линии их пересечения, отрезки АВ и АС длиной 3 и 4 произвольных единицы, например, дециметров. Тогда угол ВАС, представляющий собой линейный угол двугранного угла между стенами, будет прямым тогда и только тогда, когда длина отрезка ВС равна 5 единицам (если вас заинтересует вопрос о существовании других целочисленных прямоугольных треугольников, то читайте § 7).

Рис. 123

18.15. Будем предполагать, что стены коридора вертикальны. Выберем у нижнего края каждой из двух стен по одной точке А и В и отложим от этих точек вдоль нижнего края стен (рис. 124) в одном направлении отрезки BD к АС одинаковой длины, например длины АВ. Тогда если отрезки АВ и CD равны, то стены параллельны, а если эти отрезки не равны, то и стены не параллельны.

Рис. 124