Принцесса или тигр

1. С помощью свойств 1–3 можно, оказывается, строго показать, что машина Фергюссона не способна доказать все истинные утверждения. Читателю предлагается найти такое утверждение, которое является истинным, но при этом не может быть доказано с помощью этой машины. Иначе говоря, мы должны найти такие числа пит (они могут быть как одинаковыми, так и разными), для которых кодовый номер утверждения n Є Аn—то есть число n*m — не мог бы быть напечатан машиной, но чтобы при этом число n являлось бы элементом множества А п.

2. В решении задачи 1, которое приведено ниже, числа n и m оба меньше 100. Имеется и другое решение этой задачи, для которого числа n, m также оказываются меньше 100 (при этом они опять могут быть как одинаковыми, так и разными). Сумеет ли читатель найти это решение?

3. Если не ограничивать сверху величину чисел n и m, то сколько всего решений может быть у такой задачи? Иначе, сколько существует истинных утверждений, которые недоказуемы с помощью машины Фергюссона?

Заключение

Фергюссон вовсе не хотел отказываться от идеи создания такой машины, которая могла бы доказывать арифметические истины, не будучи в состоянии доказывать ложные заключения, поэтому он напридумывал целую кучу таких логических машин.[7] Однако для каждой новой машины либо он сам, либо Крейг с Мак-Каллохом все-таки находили такое истинное утверждение, которое машина доказать не могла. Поэтому в конце концов Фергюссон отказался от мысли сконструировать чисто механическое устройство, которое было бы одновременно и точным (в указанном выше смысле. — Перев.), и могло бы доказать любое истинное арифметическое утверждение.

Итак, все героические попытки Фергюссона не увенчались успехом, однако причина этого заключалась отнюдь не в недостатке авторской изобретательности. Мы не должны забывать о том, что он жил за несколько десятилетий до знаменитых открытий таких известных логиков, как Гёдель, Тарский, Клини, Тьюринг, Пост, Черч и другие ученые, о работах которых у нас вот-вот пойдет речь. Если бы Фергюссон дожил до этих открытий, то он понял бы, что неудачи его обусловлены исключительно тем, что он пытался создать нечто по сути своей совершенно невозможное! Поэтому, отдав должное Фергюссону и его коллегам Крейгу и Мак-Каллоху, распрощаемся с ними и перенесемся на три-четыре десятилетия вперед, в переломный 1931 год.

Решения

1. Одно из решений состоит в следующем: утверждение 75ЄА75 является истинным, но не может быть доказано машиной. И вот почему.

Допустим, что утверждение 75 Є А75 ложно. Тогда число 75 не принадлежит множеству А75 Следовательно, это число должно принадлежать множеству А25 (согласно свойству 2, множество Аn является дополнением множества А3n) — Это означает (согласно свойству 3), что число 75*75 принадлежит множеству А8, поскольку 25 = 3X8-1-1, и, следовательно, машина может напечатать число 75*75. Иначе говоря, это означает, что утверждение 75 Є А75 может быть доказано машиной. Таким образом, если бы утверждение 75 Є А75 было ложным, то оно вполне могло бы быть доказано машиной. Однако нам известно по условию, что машина точна и никогда не доказывает ложные утверждения. Поэтому утверждение 75 Є А75 не может оказаться ложным, и, стало быть, оно должно быть истинным.

Далее, поскольку утверждение 75ЄА75 истинно, то число 75 действительно принадлежит множеству Аn. Поэтому оно не может принадлежать множеству А 25 (согласно свойству 2), и, следовательно, число 75 * 75 в свою очередь не может принадлежать множеству А8, поскольку если бы это было так, то тогда, согласно свойству 3, число 75 принадлежало бы множеству а25. Поскольку ясно, что число 75 * 75 не принадлежит множеству Ag, то утверждение 756А75 не может быть доказано машиной. Итак, утверждение 75ЄA75 является истинным, но оно недоказуемо с помощью машины.