Принцесса или тигр?

8. По поводу миссис Клинк нельзя сказать ничего определенного, а ее супруг должен относиться к типу A. Основания для такого вывода следующие. Допустим, что миссис Клинк относится к типу A. Тогда правильным ответом на ее вопрос будет «да», откуда следует, что мистер Клинк мог спросить свою жену, принадлежит ли она к типу A. А поскольку миссис Клинк по предположению принадлежит к типу A, то правильным ответом на этот вопрос будет «да», что позволяет считать мистера Клинка относящимся к типу A. Итак, если миссис Клинк принадлежит к типу A, то ее муж относится к тому же самому типу. Предположим теперь, что миссис Клинк принадлежит к типу B. Тогда правильным ответом на ее вопрос будет «нет», откуда следует, что мистер Клинк не относится к людям того типа, которые могли бы спросить ее, принадлежит ли она к типу A. Поэтому он не мог задать вопрос, правильным ответом на который являлось бы «нет», а значит, должен относиться к типу A. Итак, мистер Клинк относится к типу A, независимо от того, к какому типу принадлежит миссис Клинк.

9. Предположим, что Бетти относится к типу A. Тогда правильным ответом на ее вопрос является «да», и поэтому Джон мог спросить, принадлежит ли по крайней мере один из них к типу B. Но это приводит нас к противоречию: ведь если Джон относится к типу A, то невозможно, чтобы по крайней мере один из супругов принадлежал к типу B. Следовательно. Правильным ответом на его вопрос должно быть «нет», что невозможно для человека, принадлежащего к типу A. Если же Джон относится к типу B, тогда, действительно, по крайней мере один из них принадлежит к типу B, — ведь в этом случае «да» оказывается правильным ответом на его вопрос. Но поскольку ни один человек, относящийся к типу B, не может задать вопрос, правильным ответом на который является «да», то предположение о том, что Бетти принадлежит к типу A, неверно и, значит, она должна относиться к типу B.

Теперь, поскольку Бетти относится к типу B, то правильным ответом на ее вопрос явлется «нет»; отсюда следует, что Джон никак не может спросить ее, принадлежит ли по крайней мере один из них к типу B. Далее, если бы Джон относился к типу A, тогда он в самом деле мог задать такой вопрос, поскольку, действительно, по крайней мере один из них (а именно Бетти) принадлежит к типу B. Но поскольку задать такой вопрос он не может, то, следовательно, он тоже должен относиться к типу B.

Итак, ответ таков: оба супруга принадлежат к типу B.

10. Легче всего строить решение этой задачи поэтапно. Прежде всего докажем следующие два утверждения:

Утверждение 1. Для любого островитянина X, относящегося к типу A, справедливо следующее: никто из жителей острова не может спросить, принадлежат ли он (она) и этот X к разным типам.

Утверждение 2. Для любого островитянина X, относящегося к типу B, справедливо следующее: любой обитатель острова всегда может спросить, принадлежат ли он (она) и этот X к разным типам.

Утверждение 1 фактически доказано при решении задачи 5, когда мы убедились, что если бы миссис Гордон относилась к типу A, то мистер Гордон никак не мог бы спросить, принадлежат ли он и его супруга к одному типу.

Что же касается утверждения 2, то в случае, если X относится к типу B, вопрос, относятся ли некто и житель острова X к разным типам, эквивалентен вопросу, принадлежит ли этот некто к типу A, а такой вопрос, как мы уже выяснили при решении задачи 2, может задать любой островитянин. Таким образом, если X принадлежит к типу B, то любой житель острова может спросить X, относится ли он (она) вместе с X к разным типам.

Обратимся теперь к решению самой задачи. Докажем сначала, что правильным ответом на вопрос Алисы является «нет» и поэтому Алиса должна принадлежать к типу B. Другими словами, докажем, что Бетти никак не может спросить Веронику, относится ли Вероника к такому типу людей, которые могли бы спросить Бетти, принадлежат ли Вероника и Бетти к разным типам.

Предположим, что Бетти задает Веронике вопрос, может ли Вероника спросить, относятся ли Вероника и Бетти к разным типам. Тогда мы приходим к следующему противоречию. Действительно, Бетти может относиться как к типу A, так и к типу B. Допустим, что она относится к типу B. Тогда, согласно утверждению 1, Вероника не может спросить, относятся ли они с Бетти к разным типам. Следовательно, ответом на вопрос Бетти является «нет», а такой ответ невозможен, так как Бетти принадлежит к типу A. С другой стороны, предположим, что Бетти относится к типу B. Тогда, согласно утверждению 2, Вероника вполне могла бы спросить, относятся ли они с Бетти к разным типам; это означает, что правильным ответом на вопрос Бетти должно быть «да», что невозможно, поскольку Бетти принадлежит к типу B.

Тем самым доказано, что Бетти никак не может задать Веронике вопрос, о котором Алиса спрашивает Бетти, могла ли бы она его задать… Поэтому правильным ответом на вопрос Алисы является «нет», и, значит, сама Алиса относится к типу B. Что же касается того, к какому типу относятся Бетти и Вероника, то этого выяснить нельзя.