Природа и общество. Модели катастроф

Это и есть, в подробной записи, условие, при котором происходит обмен участков. Мы будем искать теперь удовлетворяющие ему долины около границы, отделяющей зоны К и L, где такие обмены будут вероятнее всего происходить. Неравенство (α) связывает координаты двух точек: p c координатами (П₁, П₂) и p' с координатами (П₁', П₂'). Поскольку последние обмены будут происходить вблизи границы, естественно искать точки p и p', удовлетворяющие условию (α) , на самой граничной кривой. Предположим, что такие точки найдутся (см. рис.5а). Допустим, далее, что для них выполнено условие (α) . Тогда оказывается, что можно произвести обмен изображенных на рисунке 5а участков с уменьшением суммы всех трудовых затрат S_I + S_II. Участки а и а' мы выберем столь малыми, чтобы координаты каждой долины первого из них были очень близки к координатам точки p, а координаты каждой долины второго – очень близки к координатам точки p'. Надо представить себе, что долины малы по сравнению с участками, а участки – по сравнению со всей "картой" 5а, описывающей значительную часть страны и, тем самым, содержащей большое число долин. При такой близости долин к выбранным на кривой точкам для каждой долины участка а и каждой долины участка а' будет все еще выполнено неравенство (α) , в котором первая скобка относится к долине участка а, а вторая к долине участка а'. Но тогда возможен обмен каждой из долин первого участка на каждую долину второго! Читателю рекомендуется посмотреть выше, каким образом такой обмен обеспечивается неравенством ΔS₁ + ΔS₂ < 0, равносильным (α) . Остается подобрать размеры участков а, а' вблизи точек p, p' так, чтобы они содержали равное число долин, и обменять все долины первого участка на различные долины второго; тогда сумма всех затрат S_I + S_II уменьшится, как было сказано выше.

При таком обмене участков граница между К и L, если смотреть со стороны К, "отступает" вблизи точки p, уступая участок а зоны К, и "наступает" вблизи точки p', захватывая участок а' зоны L. Итак, если на граничной кривой найдутся точки с координатами, удовлетворяющими неравенству (α), то можно уменьшить сумму всех затрат, причем рынок по-прежнему остается обеспеченным продукцией того и другого вида, поскольку это условие соблюдалось в описанных выше обменах.

Но оказывается, что сумму S_I + S_II можно уменьшить и в том случае, когда для некоторой пар точек p, p' граничной кривой выполняется противоположное неравенство

В самом деле, рассмотрим рисунок 5б, где b – "энергетический" участок, примыкающий к границе со стороны L, а b' – "сельскохозяйственный" участок, примыкающий к границе со стороны К. Произведем, аналогично предыдущему, обмен участка b' на участок b. При этом в участке b' S₁ = Q₁/П₁', S₂ = Q₂/П₂', а в участке b S₁ = Q₁/П₁, S₂ = Q₂/П₂ (проверьте эти равенства!). Поэтому приращение S₁ при обмене b' на b равно

а приращение

Оба последние выражения отличаются лишь знаками от скобок формулы &(beta;); следовательно, для обмена участков b, b' сумма

ΔS₁ + ΔS₂ < 0.

Итак, если на границе найдется пара точек, для которых выполнено неравенство (beta;), то опять можно уменьшить полную сумму затрат S_I+ S_II, сдвинув границу, как указано на рисунке 5б! (Проверьте, где граница отступает и где наступает).

Что же означает полученный результат? Если для любой пары точек границы невозможны оба неравенства (α) и (beta;), это значит, что для любой пары граничных точек выражение в левых частях – то есть сумма ΔS₁ + ΔS₂ – равна нулю. В координатах это значит, что для любых двух точек p, p' граничной кривой справедливо равенство

Как мы увидим, это равенство позволяет найти форму кривой, разделяющей зоны конкурирующих видов природопользования. Но прежде всего из него видно, что на границе между зонами уже невозможны никакие обмены: граница устанавливается тогда, когда все выгодные сделки между обеими сторонами уже состоялись! Равенство (γ) не позволяет дальше уменьшить общую сумму всех затрат S_I + S_II, и можно доказать, что в действительности мы нашли распределение долин между конкурентами, делающее эту сумму минимальной [Примененный метод иллюстрирует возможности вариационного исчисления. Мы сделали ряд упрощающих предположений, позволивших обойтись средствами школьной алгебры. В более реалистических задачах процедура "варьирования" граничной кривой, изображенная на рисунке 5, требует применения высшей математики]