Природа и общество. Модели катастроф

Это значит, что стихийная деловая активность свободного рынка, описанная выше на примере обменов долинами, приводит к тому же результату, что и решение задачи оптимизации, как будто поставленной в интересах общества в целом! Это и есть то, что мы имели в виду в главе 5, говоря, что свободный рынок в сущности решает ту же задачу, что и действительно оптимальное планирование. Задолго до возникновения современных методов математической экономики это понял основоположник экономической науки Адам Смит. Он пришел – интуитивным путем – к только что высказанному открытию, выражающему, как говорили его современники, "оптимизм" Адама Смита: казалось, что "невидимая рука" рынка невольно направляет к общему благу "эгоистическую" деятельность отдельных производителей, каждый из которых думает только о собственной выгоде. Здесь нет никакого парадокса: эта их деятельность порождает конкуренцию, мобилизующую энергию личного интереса. Иное дело, как этот личный интерес отражается на личности этих производителей, и какое общество может отсюда произойти. Адам Смит, бывший не только экономистом, но и философом, понимал это гораздо лучше его последователей, "идеологов" свободного рынка. Он утверждал лишь, что свободный рынок обеспечивает наилучшую производительность общественного труда, создавая "богатство наций". В отношении распределения и использования этого богатства он вовсе не был "оптимистом".

Возникает вопрос, почему бы, в самом деле, не заменить свободный рынок (к тому же – все менее свободный в наши дни) прямым оптимальным планированием? К сожалению, действительно оптимальное планирование в масштабах больших хозяйственных организмов представляет трудности, далеко превосходившие понимание бравшихся за него дилетантов. Эти трудности связаны и с навыками мышления и поведения людей, которые очень трудно планировать. Приходится признать, что в обозримом будущем "оптимизировать" народное хозяйство будет по-прежнему рынок.

Это вовсе не значит, что методы математической оптимизации не нужны. Напротив, они дают ответы на очень важные, хотя и частные вопросы – столь важные, что без помощи этих методов человечество вряд ли сможет выжить в техническом мире, созданном им самим.

Нам осталось определить точную форму кривой, разделяющей области конкурентов К и L. Эта кривая оказывается гиперболой, может быть, известной читателю из школьного курса, где она встречается при исследовании элементарных функций. Окончательное решение поставленной нами задачи оптимизации видно на рисунке 6.

Рис.6

Для тех, кто не страшится простейших выкладок аналитической геометрии, приведем доказательство, что мы действительно получили гиперболу.

Уравнение (γ) содержит координаты двух точек, лежащих на искомой кривой – p(П₁, П₂) и p'(П₁', П₂') (тогда как Q₁ и Q₂ – постоянные, задающие производительность "долин"), и при любом выборе

этих точек должно выполняться равенство . Фиксируем точку p' (то есть ее координаты П₁', П₂'), а точку p заставим пробегать граничную кривую. Тогда координаты П₁,

П₂ точки p ("текущие координаты" на кривой, как говорят в аналитической геометрии) удовлетворяют уравнению , где все остальные буквы надо считать постоянными. Перепишем это уравнение в виде

и обозначим правую часть через а, П₁ через x, П₂ через y. Тогда имеем

или

Q₂x - Q₁y = axy

Чтобы упростить это уравнение, сдвинем координатные оси x,y на расстояния x₀, y₀:

x = x₀ + x', y = y₀ + y',

где x , y – координаты точки p в новых осях. Имеем

Q₂ x' - Q₁ y' + Q₂ x₀ - Q₁ y₀ = a(x' + x₀)(y' + y₀),

ax'y' + x'(ay₀ - Q₂) + y'(ax₀ - Q₁) = Q₂x₀ - Q₁y₀ - ax₀y₀.

Подберем сдвиги x₀ ,y₀ так, чтобы скобки слева обратились в нуль, подставим эти числа в правую часть и обозначим полученное число через ac. Сокращая на а, получаем уравнение гиперболы:

x'y' = c (или y' = c / x' ).

Это и есть искомая кривая, делящая правый верхний угол на области L,K. Гипербола не может пересекать границы областей А и В, так как по обе стороны ее лежат долины разного назначения, а в областях А и В – только одного (сельское хозяйство в В, гидростроительство в А ).Следовательно, она проходит через угловую точку прямоугольника С.

Глава 10. Долговременные ориентиры в экономике и экологии