Природа и общество. Модели катастроф

Рассмотрим теперь простую сделку – обмен двух долин: предположим, что из первой долины работавшие там крестьяне переходят во вторую, где работали строители, а те переходят в первую долину. Поскольку, как мы предположили, производительность всех долин по каждому виду продукции одна и та же, такой обмен не противоречит наложенному выше условию полного обеспечения рынка. Для первой долины сохраним прежние обозначения трудовых затрат S₁ и удельной полезности П₁, а для второй (теперь используемой крестьянами) обозначим трудовые затраты через S₁', а удельную полезность через П₁'. Тогда приращение трудовых затрат на сельскохозяйственную продукцию в результате обмена равно S₁' – S₁, причем, в соответствии с математическим способом выражения, "приращение" может быть положительным или отрицательным, в зависимости от того, возрастает S₁ или убывает. Приращение некоторой величины обозначается знакомΔ :Δ S читается как "приращение S". Поскольку мы имели для первой долины S₁ = Q₁/П₁, а для второй аналогично S₁' = Q₁/П₁' (Q во всех долинах одно и то же!), получаем

Точно так же, для строителей, переходящих из второй долины в первую, приращение трудовых затрат на производство энергии равно

Очевидно, обмен возможен лишь в том случае, если он выгоден обеим сторонам (напомним, что допускаются лишь добровольные сделки!). Можно указать два случая, когда обмен будет обоюдно выгоден и потому будет в самом деле происходить. Первый случай – когда обмен снижает трудовые затраты обеих сторон, то есть когда оба приращения S₁, S₂ отрицательны. Второй случай – когда одно из этих приращений положительно, а другое отрицательно, так что выигрывает от обмена лишь одна сторона: пусть выигрывают, например, крестьяне, а гидростроители проигрывают, то есть ΔS₁ < 0, но ΔS₂ > 0. Казалось бы, гидростроители никогда не согласятся на такой обмен. Но рассмотрим частный случай, когда выполнено неравенство

ΔS₁ + ΔS₂ < 0

(заметим, что оно выполнено и в рассмотренном выше первом случае!). Тогда абсолютная величина первого (отрицательного) приращения ΔS₁ больше второго (положительного) приращения ΔS₂, как это видно из предыдущего неравенства (проверьте это заключение, вспомнив смысл абсолютной величины – см. также наглядную схему на рисунке 4):

Это значит, что крестьяне получат от обмена выгоду, б`oльшую, чем убыток строителей. Тогда они могут затратить часть этой выгоды, компенсировав строителям их потери, и даже с некоторым избытком, так что обмен окажется выгодным для обеих сторон. Вот поучительный пример честной торговли! Точно то же произойдет, если от обмена непосредственно выиграют строители, а проиграют крестьяне. Оба рассмотренных выше случая (первый и второй, с его двумя вариантами, в зависимости от того, кто выигрывает) суммируются одним и тем же неравенством ΔS₁ + ΔS₂< 0.

Рис.4

Если это условие выполнено, то обмен будет выгоден для обеих сторон (при надлежащей компенсации), и потому будет происходить. Но при таком обмене общая сумма трудовых затрат на всю продукцию (и сельскохозяйственную, и энергетическую) уменьшится: в самом деле, уменьшение затрат для крестьян, по наложенному условию, превосходит увеличение затрат для строителей (когда эти последние увеличиваются от обмена), а кроме двух обмениваемых долин, в остальных местах затраты вовсе не меняются. Итак, если S_i означает полную сумму затрат на всю сельскохозяйственную продукцию, а S_II – полную сумму затрат на всю энергию, то, при условии

ΔS₁ + ΔS₂ < 0.

сумма S_I + S_II уменьшается вследствие обмена.

Вспомним теперь, что в зонах А и В (рис.3) выгодно, соответственно, только сельское хозяйство (в А) и только гидростроительство (в В). Вся трудность состоит в разделе спорной области, где возможны оба вида производства, то есть в определении границы между зоной сельского хозяйства К и зоной гидростроительства L (см. там же, на рис.3). Можно ожидать, что долины будут предметом сделок – купли и продажи – которые в конечном счете сведутся к описанным выше операциям обмена, с возможной компенсацией. Как мы видели, такие обмены обоюдно выгодны и, следовательно, несомненно будут происходить, если выполнено приведенное выше условие ΔS₁ + ΔS₂ < 0.

Ясно, что чем больше по абсолютной величине отрицательная левая часть этого неравенства, тем выгоднее обмен, так как обе стороны больше выигрывают в его результате. Обмены прекратятся, когда их выигрыш станет равен нулю – и тогда установится окончательная граница между зонами крестьян и гидростроителей. Естественно предположить, что последние обмены произойдут как раз вблизи этой искомой границы, так что на самой границе будет выполняться равенство ΔS₁ + ΔS₂ = 0.

На рисунке 5а изображен описываемый дальше случай, когда имеет смысл обменять "сельскохозяйственный" участок а, примыкающий к границе со стороны К, на "гидростроительный" участок а', также примыкающий к границе, но со стороны L.

Рис.5а Рис.5б

Подставив в неравенство ΔS₁ + ΔS₂ < 0. полученные выше выражения для ΔS₁ и ΔS₂, придадим ему вид