Призрак исполина

…что не раз
Влетала в створки тайного окна
Над морем сумрачным в стране забвенной[43].

Новое уравнение ставит тот же вопрос, что и предыдущее, и дает на него ответ. Каковы очертания «территории», получающейся при нанесении чисел на карту? Для множества «К» это была окружность с радиусом, равным 1. Давайте внесем эту величину в уравнение Мандельброта и посмотрим, что произойдет. При первых шагах вычисления легко производить в уме. Но спустя несколько десятков итераций даже у суперкомпьютера сгорит процессор.

Для начала: z = 0, с = 1. Следовательно, Z = 1

Первая петля: Z = 1² + 1 = 2

Вторая: Z = 2² + 1 = 5

Третья: Z = 5² + 1 = 26

Четвертая: Z = 26² + 1… и так далее.

Моих программистских способностей хватило, чтобы однажды заставить компьютер подставить в уравнение числа покрупнее. Машина обыграла меня всего на две итерации, а потом начала округлять:

1, 2, 5, 26, 677, 458330,

21006640000

4412789000000000000000

Тут компьютер сдался, поскольку он не верит, что существуют числа более чем из 38 разрядов.

Однако даже первых двух полученных значений достаточно, чтобы показать: очертания множества Мандельброта должны существенно отличаться от идеальной окружности множества «К». Точка с координатой «1» находится внутри множества «К», и она же определяет ею границу. Точка с таким же расстоянием в множестве Мандельброта может вылезать за границу.

Обратите внимание: я говорю «может», а не «должна». Все зависит от изначального направления относительно начала координат. Пока что мы его игнорировали, поскольку оно не влияло на наш разговор о множестве «К», наделенном абсолютной симметричностью. Как выясняется, множество Мандельброта симметрично только относительно оси X — то есть горизонтали.

Кто-то, возможно, уже догадался об этом, исходя из природы уравнения. Но вряд ли возможно интуитивно определить, как оно выглядит в действительности. Если бы мне задали такой вопрос в девственные «домандельбротовы» времена, я бы, пожалуй, робко предположил: «Наверное, что-то вроде овала, вытянутого вдоль оси Y». Возможно, смекнул бы даже, что картинка будет смешена влево, в направлении минуса.

Предлагаю провести мысленный эксперимент. Множество Мандельброта объективно неописуемо, но вот моя попытка сделать невозможное.

Представьте, что вы смотрите сверху на толстую черепаху, плывущую за запад. Она врезалась в рыбу-меч, поэтому перед ней торчит узкая спица. Панцирь ее по всему периметру оброс гирляндами причудливых морских водорослей и черепахами-малютками всевозможных размеров, к которым тоже прилипли разные водоросли…

Попробуйте найти подобное описание в учебнике математики. Если думаете, что у вас получится лучше, поглядите на эту зверюгу — и пожалуйста, милости просим. (Подозреваю, что в мире насекомых нашлись бы аналогии получше. Возможно, где-нибудь в бразильской сельве ползает «мандельжук». Жаль, мы этого никогда не узнаем.)

Вот первая, весьма приблизительная картинка, лишенная деталей. Она очень похожа на «пруд Мандельброта» около замка Конрой (глава 18). Если решите заполнить белые пятна излюбленными пометками средневековых картографов типа «Здесь драконы», смело приступайте. Сомневаюсь, что ваши предположения окажутся сильно далекими от истины.

Прежде всего, обратите внимание на следующее. Как я уже отмечал, множество Мандельброта смещено влево (на запад, если угодно) относительно множества «К», которое простирается от +1 до -1 вдоль оси X. Вдоль горизонтальной оси наша черепаха добирается только до 0,25, хотя выше и ниже она разбухает почти до 0,4.

В левую сторону карта тянется примерно до -1,4, а затем вырождается в своеобразную спицу — или антенну, — которая заканчивается ровно на -2. С точки зрения множества Мандельброта за этой точкой нет ничего, это конец Вселенной. Фанаты множества называют ее «Крайним Западом». Давайте посмотрим, что произойдет, если сделать с равным -2. Z не превратится в нуль, но и в бесконечность не уйдет. Точка будет принадлежать множеству — и только. Но если увеличить c хотя бы чуть-чуть — скажем, до -2,00000…000001, вы не успеете заметить, как пролетите мимо Плутона и направитесь к совсем уж далекому западу, в страну квазаров.

Теперь мы подошли к важнейшему отличию одного множества от другого. Граница множества «К» представляет собой красивую четкую линию. Граница множества Мандельброта, мягко говоря, «лохматая». Насколько она лохмата, вы поймете, когда мы начнем придавать множеству что-то вроде фотографического увеличения. Только так можно увидеть невероятную флору и фауну, процветающую на этой спорной территории.