Проблема идеального

В отличие от приведенных истолкований некоторые математики и философы (к ним близок и Ш. Эрмиг) признают объективно реальное существование математических объектов самих по себе, независимо от их знаковой или предметной объективации и до нее, т.е. в виде особых духовных сущностей. Идеалистический характер такой трактовки объективности математических структур очевиден. До сих пор в зарубежной математике сохраняется противостояние номиналистических и реалистических подходов к решению проблемы существования математических объектов.

Однако, как показано А. К. Сухотиным, эта альтернатива во многом искусственна и проистекает из-за неразличения «внутреннего» и «внешнего» языков математики (первый представляет собой язык описания математических объектов самих по себе, второй — язык описания их отношений к «вне-математической реальности»): «Подход к математическим объектам как реальности в рамках внутритеоретического языкового каркаса заключает безусловные преимущества. В силу такого понимания объекты становятся осязаемо-данными, наглядными, с ними удобно оперировать. И в этом нет идеализма, если не претендовать на большее (на решение «внешних» вопросов), ибо принятие языка еще не есть принятие онтологии» [202, с. 37].

С позиций диалектического материализма недопустима не только буквальная онтологизация математических структур, ведущая к платонистскому, «реалистическому» их пониманию, но и наивно-онтологическая их трактовка в материалистическом ключе, игнорирующая диалектический характер совершающегося в них отображения действительности. По способу своего существования математические объекты как таковые суть феномены субъективной реальности, но по своему «содержанию» они объективны, ибо в конечном итоге детерминированы объективной реальностью; существуя в индивидуальном сознании, они обладают статусом явлений общественного сознания. В этом отношении о существовании математических объектов, например «точки», «числа», «функции», можно говорить в том же смысле, что и о существовании «белого», «весны» или «дома». Это существующие в мышлении понятия, в которых с разной степенью абстрагирования и опосредствования отображается объективная реальность.

Разумеется, математические объекты имеют свою специфику. Лейбниц писал: «Универсальная математика — это, так сказать, логика воображения». И она должна изучать «все, что в области воображения поддается строгому определению» (цит.по [48, с. 319]). Математические структуры — это логически упорядоченные ментальные структуры, точнее, это своего рода репрезентации некоторых хорошо определенных интеллектуальных структур [242], представляющих собой аналоги наличных и исторически вероятных объективно реальных структур, проекты и предвосхищения возможных дискретизаций и континуумизаций действительности, потенциально существующих и творчески полагаемых связей, отношений, целостностей. Производимые математическим мышлением конструирования, сепарирования, упорядочения, интеграции абстрактных отношений часто идут далеко впереди эмпирически ориентированного познания, не предполагают прямого практического применения, из-за чего математические структуры и модели создают впечатление продуктов свободной игры теоретического мышления, а то и квалифицируются даже как «свободные творения разума» (см. [48, с. 337]).

Действительно, математическое творчество — яркое проявление активности сознания и, следовательно, сущности идеального, ибо оно обладает высокой степенью независимости от наличной эмпирической данности. Однако его свобода относительна, носит конкретно-исторический характер. Она всегда детерминирована экономическими и социальнокультурными условиями, как об этом свидетельствует история математики (см., например [198, с. 5—6]). Она ограничена не только строгими формальными критериями и существующими нормативами математической деятельности, но, по признанию Бурбаки, даже факторами «здравого смысла» (см. [48, с. 27]). Диапазон творческой свободы нам заранее неизвестен, хотя он не беспределен. Расширение этого диапазона связано с реализацией наличных степеней свободы. Творческая свобода есть воление, несет интенцию выбора, должна «сбыться», чтобы оправдать себя именно в качестве свободы, а «сбывшаяся» свобода есть уже несвобода, объективность, но и трамплин для нового порыва субъективности⁴⁶. Такова диалектика свободы творчества и ее продукта, составляющая важнейший аспект диалектики идеального и материального. Поэтому «свободные творения разума» в математике принципиально не отличаются от «свободных творений» в других областях духовной деятельности. Они возникают и существуют? как всякая культурная ценность.