Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Этим иллюстрируется и еще один аспект большого. большое игнорирует не только знаки, но и множители. Если Aесть большое от B, то таковыми же будут 10 A, 100 Aи 1000 000 A; таковыми будут и одна десятая Aодна сотая Aодна миллионная A. большое не сообщает нам о точном темпе роста — для этого у нас есть производные. Она сообщает о типероста. Функция «единица» вообще не имеет никакого темпа роста — она намертво постоянная. Функция, являющаяся большим от единицы, никогда не возрастет быстрее этого. Она может выделывать всякое другое: прижиматься к нулю, колебаться без конца внутри ограничивающих ее прямых или же подходить к одной из ограничительных линий все ближе и ближе, но она никогда не взовьется внезапно вверх и не нырнет внезапно вниз, прорываясь через эти линии и оставаясь после этого снаружи.

Приведенные функции 0,1 x, 0,01 x, 0,001 x

и 0,0001 x— не большое от единицы; все они — большое от x. Такова же и любая другая функция, которая остается навсегда заключенной в «куске пиццы» между прямой axи ее зеркальным отражением -ax.На рисунке 15.2 приведен пример функции, которая неостается в таких пределах. Это 0,1 x ²— квадратичная функция. Не важно, сколь широким вы сделаете этот кусок пиццы — т.е. не важно, сколь велико значение a, — график функции 0,1 x ²рано или поздно прорвется через верхнюю границу.

Рисунок 15.2.Функция 0,1 x

²не есть (х).

Теперь мы можем оценить значение результата фон Коха 1901 года. Если Гипотеза Римана верна, то при x, стремящемся к бесконечности, абсолютная разность между (x)и Li (x) — т.е. или Li (x) - (x), или (x) - Li (x), что не важно, потому что большому нет дела до знаков, — остается заключенной между двумя ограничивающими кривыми. Ограничивающие кривые — это Cx•ln  xи ее зеркальное отражение, где C— некоторое число. Остаточный член может делать что хочет между этими двумя кривыми, но он никогда не выберется наружу и никогда не вырвется внезапно из-под их контроля. Разность между (x)

и Li(x) есть большое от x•ln  x.

На рисунке 15.3приведен пример функции, которая есть ( x•ln  x). Там показаны: 1) кривая x•ln  x(верхняя половина отдаленно напоминающей параболу кривой), 2) зеркально отраженная кривая -x•ln  x(нижняя половина) и 3) придуманная для иллюстрации и ничего особенно не выражающая функция, которая есть ( x•ln  x). Буква m обозначает миллион, ведь вещи подобного рода интересны только для больших аргументов. Стоит отметить, что "функция Дербишира" в действительности на некоторое время вырывается за пределы ограничивающих ее кривых при аргументах, равных примерно 200 миллионам. Это не страшно, поскольку больше она никогда такого не делает.

Начиная с некоторой точки — и навсегда после нее — функция остается в пределах границ. Верьте мне, что она там остается, хотя по понятным причинам я и не могу показать вам всю функцию до бесконечности. большое принимает во внимание исключения из правил при малых аргументах (а такие исключения — общее место в теории чисел, взять хотя бы утверждение «все простые числа нечетные… кроме самого первого»).

Рисунок 15.3.Функция Дербишира есть ( x•ln  x).

Можно заметить еще, что, поскольку большое не принимает во внимание множители, масштаб по вертикали совершенно произволен. Важны лишь конфигурация — форма ограничивающих кривых — и тот факт, что начиная с какого-то места наша функция навсегда заключена между ними.

III.

Результат фон Коха 1901 года [135]— а именно утверждение, что, если Гипотеза Римана верна, то (x)= Li (x)+ ( x•ln  x), — один из первых примеров определенного типа результатов, которыми сейчас полна теория чисел, — результатов, которые начинаются словами «Если Гипотеза Римана верна, то…». Если окажется, что Гипотеза Римана не верна, то немалую часть теории чисел придется переписывать.