Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Возьмем Золотой Ключ и перевернем его вверх ногами, т.е. возьмем обратную величину к каждой стороне равенства в выражении (7.2). Очевидно, если  A = Bи при этом ни A,ни  Bне равны нулю, то 1 /A =1 /B.Получаем (15.1)

Теперь раскроем скобки в правой части. На первый взгляд, это сильно сказано: как-никак, сомножителей в скобках бесконечно много. На самом деле процедура требует несколько большего внимания и обоснования, чем мы можем здесь ей уделить, но в конце концов мы получим полезный и верный результат, так что в данном случае цель оправдывает средства.

Раскрытие скобок все мы изучали в курсе элементарной алгебры. Чтобы перемножить (а + b)(p + q), сначала умножаем a

на (p + q),что дает ар + aq.Затем умножаем bна (p + q),что дает bp + bq.А потом, поскольку в скобках у нас aплюс b, мы складываем вместе то, что получилось, и окончательный ответ имеет вид ap + aq + bp + bq. Если надо перемножить три скобки (а + b)(p + q)(u + v),то повторение этих действий дает apu

+ aqu + bpu + bqu + apv + aqv + bpv + bqv.Перемножение четырех скобок (а + b)(p + q)(u + v)(x + у)дает

apux + aqux + bpux + bqux + apvx + aqvx + bpvx + bqvx + apuy + aquy + bpuy + bquy + apvy + aqvy + bpvy + bqvy.

(15.2)

Грандиозность того, что получается, начинает внушать некоторые опасения. А ведь нам предстоит перемножить бесконечное число скобок! Фокус состоит в том, чтобы посмотреть на это дело глазами математика. Из чего составлено выражение (15.2)? Ну, это сумма некоторого числа членов. Как эти члены выглядят? Выберем наугад какой-нибудь один из них, скажем aqvy. Сюда входит aиз первой скобки, qиз второй, vиз третьей и y

из четвертой. Это произведение, составленное из чисел, выбранных по одному из каждой скобки. И все выражение целиком получается в результате всех возможных комбинаций того, как мы выбираем эти числа из скобок.

Как только вы смогли это увидеть, перемножение бесконечного числа скобок больше не проблема. В ответе будет сумма — разумеется, бесконечная — членов, каждый из которых получен путем выбора одного числа из каждой скобки и перемножения всего, что выбрали. Если сложить результаты всех таких возможных выборов, то и получится ответ. Однако в том виде, как эта процедура описана, она все еще выглядит несколько устрашающей. Согласно сказанному, каждый член в нашей бесконечной сумме есть бесконечное произведение. Да, так оно и есть, но, поскольку каждая скобка в правой части выражения (15.1)содержит 1, наша жизнь делается приятнее за счет того, что мы будем выбирать бесконечное число единиц и лишь конечное число не-единиц. В конце концов, поскольку каждый не-единичный член в каждой скобке есть число между - ¹/ ₂и 0, перемножение бесконечно большого числа таких членов дает результат, величина которого (я имею в виду — без учета знака) заведомо не больше, чем ( ¹/ ₂) , а это равно нулю! Теперь смотрите, как я построю бесконечную сумму.

Первый член в бесконечной сумме: берем 1 из каждой скобки. Это даст бесконечное произведение 1x1x1x1x1x…, значение которого есть, конечно, просто 1.

Второй член: берем 1 из всех скобок, кроме первой. Из первой же возьмем . Это даст бесконечное произведение x1x1x1x1x…, которое равно просто .

Третий член: берем 1 из каждой скобки, кроме второй. А из второй возьмем . Это даст бесконечное произведение 1x x1x1x1x…, что равно просто .

Четвертый член… Я думаю, понятно, что, если брать 1 из каждой скобки, кроме n

-й, мы получим слагаемое равное , где p — n-е простое число. Итак, получилась бесконечная сумма вида (15.3):

Но это еще не конец. При перемножении скобок возникает сумма всех возможных членов,получаемых взятием одного числа из каждой скобки. Предположим, мы выбрали из первой скобки, из второй и 1 из всех остальных. Это дает x x1x1x1x…, что равно . Похожие вещи мы получим из каждой возможной пары выборов не-единиц. Выбирая из третьей скобки и из шестой, а единицы из всех остальных, получаем член, равный .

(Заметим, что здесь работают два простых правила арифметики. Одно — это правило знаков, гласящее, что минус умножить на минус дает плюс, а другое — 7-е правило действий со степенями, согласно которому (xxy) ⁿ= x ⁿxy ⁿ.)

Так что наряду с членами, уже собранными в выражении (15.3), имеется новый набор, каждый член в котором происходит из каждой пары простых чисел, как 5 и 13, и которые все входят со знаком плюс. Таким образом, выражение (15.3)разрослось до такого:

где каждое число во второй строке есть произведение двух различных простых.