Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Далее, имеется путаница по поводу того, что именно вычисляется. Не предполагается, что Веденивски способен предъявить все 100 миллиардов этих нулей, вычисленных с высокой (или даже со средней) точностью. Цель подобных исследований состоит главным образом в подтверждении Гипотезы Римана, а это можно сделать, не прибегая к высокоточным вычислениям нулей. Имеются некоторые теоретические построения, позволяющие вычислить, сколько нулей имеется в критической полосе между высотами T ₁и T ₂— т.е. внутри прямоугольника, верхняя и нижняя стороны которого задаются числами T ₁и T ₂, отложенными вдоль мнимой оси, а левая и правая сторона — числами 0 и 1 на вещественной оси, как показано на рисунке 16.1. Имеется и другое теоретическое построение, которое позволяет вычислить, сколько нулей расположено на критической прямой между данными высотами. [148]Если два вычисления дают один и тот же результат, то можно считать, что вы тем самым подтвердили Гипотезу Римана в данном интервале. Это можно сделать, имея лишь грубое знание о том, где на самом деле расположены нули. Большая часть таблицы 16.1относится к работе такого сорта.

Рисунок 16.1.Высоты T ₁и Т ₂на критической полосе.

А как обстоит дело с табулированием точных положений нулей? Оказывается, помимо того, что делалось в связи с проверкой Гипотезы Римана, в этой задаче сделано на удивление мало. Насколько мне вообще известно, первые сколько-нибудь длинные таблицы такого рода были опубликованы Брайаном Хейзелгровом. В 1960 году, работая на мощных компьютерах второго поколения в университетах Кембриджа и Манчестера в Англии, Хейзелгров с сотрудниками затабулировали первые 1600 нулей с точностью до шести знаков после запятой и опубликовали эту таблицу. Эндрю Одлыжко сообщил мне, что, когда он в конце 1970-х годов начинал исследования нулей дзета-функции, таблицы Хейзелгрова были единственными известными ему данными такого рода, хотя он и думает, что Леман в ходе своей работы в 1966 году мог в действительности с высокой точностью вычислить большее количество нулей. У самого Эндрю есть таблица (на диске компьютера, а не в печатном варианте) первых двух миллионов нулей с точностью до девяти знаков после запятой. На момент написания этой книги это наибольшая из известных таблиц нулей.

Вся описанная выше деятельность относится к первым Nнулям. Кроме этого, Эндрю Одлыжко совершил несколько «прыжков» вверх с целью исследовать небольшие изолированные отрезки на очень больших высотах. Он опубликовал результат вычисления самого высокорасположенного нетривиального нуля дзета-функции из известных на данный момент — это 10 000 000 000 000 000 010 000-й нуль. С точностью до пяти знаков после запятой в мнимой части он расположен в точке ¹/ ₂+ 1 370 919 909 931 995 309 568,33539 i. Эндрю вычислил и первые 100 нулей с точностью до тысячи знаков после запятой. [149]Первый нуль начинается как (имеется в виду, конечно, мнимая часть):

14,134725141734693790457251983562470270784257115699243175685567460149963429809256764949010393171561012779202971548797436766142691469882254582505363239447713778041338123720597054962195586586020055556672583601077370020541098266150754278051744259130625448….

V.

За таблицей 16.1скрываются разнообразные истории. Фигурирующий там А.М. Тьюринг, например, — это тот самый Алан Тьюринг, который работал в области математической логики, разработав идею теста Тьюринга (способ решить, обладает ли компьютер или программа интеллектом) и машину Тьюринга (идеализированный компьютер, некий вариант мысленного эксперимента, позволяющий решать определенные задачи в математической логике). Имеется Премия Тьюринга, которую начиная с 1966 года ежегодно присуждает Ассоциация вычислительной техники за достижения в области программирования и прикладной математики, — аналог Филдсовской медали по математике или же Нобелевской премии в других науках. [150]

Тьюринг был зачарован Гипотезой Римана. К 1937 году (когда ему было 26 лет) он составил мнение, что Гипотеза не верна, и вынашивал идею построения механического вычислительного устройства, которое позволило бы найти контрпример — нуль вне критической прямой. Он подал заявку на грант в Королевское общество с тем, чтобы покрыть расходы на создание этого устройства, и даже сам выточил несколько зубчатых колес на инженерном факультете Кингс-колледжа в Кембридже, где он тогда преподавал.