Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Ошибкой было бы считать (как это порой делают начинающие), что конечные поля представляют собой просто переформулировку арифметики циферблата, описанной в главе 6.viii. Это верно только для полей, содержащих простое число элементов. А вот арифметика других конечных полей устроена более тонко. На рисунке 17.1, например, представлена арифметика циферблата — сложение и умножение — для циферблата с четырьмя отметками (т.е. 0, 1, 2 и 3). Эта система чисел и правил интересна и полезна, но она не является полем, поскольку нельзя разделить 1 ни на 3, ни на 2. (Если бы можно было разделить 1 на 2, то уравнение 1 = 2x xимело бы решение. А у него решения нет.) Математики называют это кольцом, что не лишено основания, коль скоро речь идет о циферблате. В кольце можно складывать, вычитать и умножать, но не всегда можно делить.

+	0	1	2	3		x	0	1	2	3
0	0	1	2	3		0	0	0	0	0
1	1	2	3	0		1	0	1	2	3
2	2	3	0	1		2	0	2	0	2
3	3	0	1	2		3	0	3	2	1

Рисунок 17.1.Сложение и умножение на циферблате с четырьмя отметками (другими словами, сложение и умножение выполняются по обычным правилам, после чего берутся остатки по модулю 4).

Конкретное кольцо, показанное на рисунке 17.1, имеет официальное обозначение Z/4 Z. Должен сознаться, что мне такое обозначение никогда не нравилось, так что на правах автора я изобрету для него свое собственное обозначение: CLOCK ₄. [158] ^{4}Ясно, что можно построить такое кольцо для любого натурального числа N.В моих обозначениях оно будет называться CLOCK _N.

Но поле F _Nможно построить не для любого числа N, а только для простых чисел и их степеней. Для простого числа pсамого по себе поле F _pвыглядит в точности как CLOCK _p— та же таблица сложения, та же таблица умножения. Однако для степени простого числа ситуация усложняется. На рисунке 17.2 показаны сложение и умножение (откуда, конечно, извлекаются вычитание и деление) в поле F ₄. Видно, что F ₄отличается от CLOCK ₄.

+	0	1	2	3		x	0	1	2	3
0	0	1	2	3		0	0	0	0	0
1	1	0	3	2		1	0	1	2	3
2	2	3	0	1		2	0	2	3	1
3	3	2	1	0		3	0	3	1	2

Рисунок 17.2.Сложение и умножение в конечном поле F ₄.

Всякое поле, конечное или бесконечное, имеет важный параметр — число, называемое характеристикой.Характеристика поля говорит о том, сколько раз надо прибавить единицу к самой себе, чтобы получить нуль. Если 1 + 1 + 1 + … = 0 (где берется Nслагаемых), то характеристика равна N.Понятно, что характеристика поля F ₂равна 2. Чуть менее очевидно, хотя и без труда проверяется с помощью таблицы сложения на рисунке 17.2, то, что характеристика поля F ₄тоже равна 2. Такие поля, как Q, R, С, в которых никакое прибавление единицы к самой себе какое угодно количество раз никогда не даст в результате нуль, по определению имеют характеристику «нуль». (Вы могли бы подумать, что более логичной будет характеристика «бесконечность», и вы, возможно, правы, но имеются веские причины и для того, чтобы объявить характеристику нулевой.) Можно проверить, что характеристика любого поля есть или нуль, или некоторое простое число.

Поскольку мы имеем дело с алгеброй, элементы полей не обязаны быть числами. Алгебра позволяет работать с математическими объектами любого типа. Рассмотрим все многочлены (полиномиальные функции) любой заданной степени, т.е. все выражения вида ax ⁿ+ bx ^n-1+ cx ^n-2+ …, где a, b, cи т.д. — целые числа. Теперь образуем множество всех рациональных функций, другими словами, функций, являющихся отношением (ratio)двух многочленов. Получим поле. Приведем пример сложения в этом поле:

(Примерно этим и занимаются на уроках алгебры в старших классах.)

Коэффициенты многочленов не обязаны быть целыми. На самом деле можно позабавиться, сделав их элементами из конечного поля, такого как рассмотренное выше поле F ₂. В качестве примера сложения, которое при этом получается, имеем

(При проверке этого равенства надо помнить, что в поле F ₂выполнено 1 + 1 = 0, а потому x + x = 0, x ²  - x ² = 0 и т.д.) Это поле будет называться полем рациональных функций над F ₂. В нем, разумеется, бесконечно много элементов; лишь коэффициенты ограничены своей принадлежностью к конечному полю. Таким образом, можно использовать конечное поле для построения бесконечного. Заметим еще, что, поскольку 1 + 1 = 0, это поле имеет характеристику 2. Следовательно, и бесконечные поля могут иметь конечную характеристику.