Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Матрица — это квадратная таблица из чисел, например . Целые числа выбраны здесь исключительно для простоты. Числа, входящие в матрицу, могут быть рациональными, вещественными или даже комплексными. Данная конкретная матрица — это матрица 2x2. Матрицы могут быть любого размера, скажем, 3x3, 4x4, 120x120 и т.д. Они могут иметь даже бесконечный размер, хотя для бесконечных матриц правила и подвергаются некоторой модификации. Важная часть во всякой матрице — это ее главная диагональ, т.е. диагональ, ведущая из левого верхнего угла в правый нижний. В нашем примере на главной диагонали стоят элементы 5 и 6.

Если даны две матрицы одного и того же размера, то их можно складывать, вычитать, умножать и делить. Правила, по которым выполняются эти действия, не сразу очевидны. Например, если Aи  B— две матрицы одного и того же размера, то, вообще говоря, не верно, что АxВ = ВxА.Правила обращения с матрицами несложно найти в любом обычном учебнике по алгебре, и нам нет нужды вдаваться в них. Достаточно сказать, что такие правила существуют и что имеется арифметика матриц, в целом напоминающая арифметику обычных чисел, только похитрее.

Нам же важно знать про матрицы следующее. Из всякой матрицы (NxN)можно извлечь многочлен N-й степени — полиномиальную функцию, составленную из различных степеней буквы x, вплоть до N-й степени. Боюсь, я не могу объяснить, как же найти этот многочлен для данной матрицы. Придется поверить мне, что он действительно существует и что имеется способ его построить. Этот многочлен называется характеристическим многочленомматрицы.

Характеристический многочлен для приведенной выше матрицы 2x2 равен x ²- 11 x+ 28. [162]При каких значениях xэтот многочлен равен нулю? Это все равно что спросить, каковы решения квадратного уравнения x ²- 11 x+ 28. По хорошо известной формуле (или, как оптимистически говаривал мой школьный учитель, «путем усмотрения») находим, что решения — это 4 и 7. Ну и правда, если подставить 4 вместо x, то значением многочлена будет 16 -44 + 28, что в самом деле равно нулю. То же самое и с подстановкой числа 7: 49 -77 + 28 тоже равно нулю.

Эти факты служат иллюстрацией ситуации, которая верна в общем случае. Всякая (NxN)-матрица имеет характеристический многочлен степени N, и этот многочлен имеет Nнулей. [163]Нули характеристического многочлена матрицы невероятно важны. Они называются собственными значениямиматрицы. Заметим еще одно. Если сложить числа на главной диагонали нашей (2x2)-матрицы, то получится 11 (поскольку 5 + 6 = 11). Такова же и сумма собственных значений (7 + 4 = 11); и это число противоположно первому из чисел, которые встречаются в характеристическом многочлене ( -11 и 11 противоположны). Это очень важное число, называемое следомматрицы.

Характеристический многочлен, собственные значения, след — для чего все это? Видите ли, важность матриц не в них самих, а в том, что они представляют. Матричная арифметика, коль скоро вы ею овладели, — это просто набор технических навыков, как и в обычной арифметике. Но подобно тому, как обычные числа можно использовать для выражения гораздо более глубоких, более фундаментальных вещей, так же используются и матрицы. Прогулка от моего дома до Хантингтон-Вилидж занимает у меня 12 минут; расстояние составляет приблизительно 0,8 мили. Если начиная с завтрашнего утра Соединенные Штаты перейдут на метрическую систему, мне придется говорить «приблизительно 1,3 километра», а не «приблизительно 0,8 мили». Расстояние, однако, от этого не изменится; только числа, используемые для его выражения, пришлось бы изменить. Я по-прежнему проходил бы это расстояние за 12 минут (если только не состоится еще и переход к метрическим единицам времени).

Вот еще один пример: календарь, висящий у меня на стене, представляет собой численное выражение движений Солнца и Луны. Главным образом Солнца, поскольку у нас в Америке принят солнечный календарь, месяцы в котором рассинхронизированы с движением Луны. Однако этот календарь нам дали в соседнем китайском ресторане. Если присмотреться, то можно заметить, что там указаны месяцы и дни традиционного китайского лунного календаря, причем каждый месяц начинается в новолуние. Все числа отличаются от «солнечных» чисел, но они выражают те же небесные явления, то же течение времени, те же фактические моменты времени.

Точно так же обстоит дело и с матрицами. Великое значение матриц в том, что их можно использовать для представления и численного выражения некоторых более глубоких и более фундаментальных вещей. Что же это за вещи? Это операторы.Понятие оператора — одно из самых важных как в математике, так и в физике XX столетия. Я не собираюсь вдаваться в подробности насчет того, что же такое операторы, по крайней мере, до главы 20 точно не собираюсь. Важный момент, который надо осознать, — что это именно они притаились за всей этой суетой с матрицами и что именно их свойства мы и можем численно изучать, используя матрицы.