Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Можно ли и логарифмическую функцию продолжить на комплексные числа? Да. И получится, разумеется, в точности функция, обратная к показательной. Если e ^z = w, то z = ln  w. К сожалению, как и в случае квадратных корней, если мы не соблюдем меры предосторожности, мы тут же попадем в зыбучие пески многозначных функций. Это происходит из-за того, что в комплексном мире показательная функция иногда принимает одно и то же значение при различных аргументах. Например, куб числа -1, в соответствии с правилом знаков, есть -1; так что возведение в куб обеих частей равенства e ⁱ = -1 дает e ³ i = -1; таким образом, аргументы iи 3 iдают одно и то же значение функции, равное -1, подобно тому как -2 и +2 дают при возведении в квадрат одно и то же значение 4. Тогда что же такое ln (-1)? Это i? Или же 3 i?

Это i. Чтобы не наживать лишних неприятностей, ограничим мнимую часть значений функции отрезком от - (не включая) до (включая). Тогда для всякого ненулевого комплексного числа имеется его логарифм, причем ln (-1) =  i. На самом деле, если использовать обозначения, введенные в главе 11.v, то ln  z =ln  |z| + i(z), где (z), разумеется, измеряется в радианах. В таблице 13.3 показан «моментальный снимок» логарифмической функции с точностью до шести знаков после запятой. Аргументы здесь изменяются «по умножению» (каждая строка получается умножением 1 +  iна предыдущую строку), а значения функции — «по сложению» (всякий раз прибавляется 0,346574 + 0,785398 i).

z	ln  z
-0,5 i	-0.693147 - 1,570796 i
0,5 - 0,5 i	-0,346574 - 0,785398 i
1	0
1 + i	0,346574 + 0,785398 i
2 i	0,693147 + 1,570796 i
-2 + 2 i	1,039721 + 2,356194 i
-4	1,386295 + 3,141592 i
-4 - 4 i	1,732868 - 2,356194 i

Таблица 13.3.Логарифмическая функция.

Итак, у нас есть логарифмическая функция. Единственное усложнение заключается в том, что, когда мнимая часть значения функции становится больше , как это случается при переходе от аргумента -4 к аргументу -4 - 4 i, приходится вычитать 2 i, чтобы остаться в нужных пределах (2 радиан равны 360 градусам; мы помним из главы 11.v, что радианы — это просто способ измерения углов, который больше всего любят математики). Но это не причиняет на практике никаких неудобств.

II.

Коль скоро имеются показательная и логарифмическая функции от комплексных чисел, нет причин, запрещающих возводить любое комплексное число в любую комплексную степень. Согласно 8-му правилу действий со степенями из главы 5.ii любое вещественное число aравно e ^ln  a, а тогда по 3-му правилу a ^x— это просто-напросто e ^xln  a. Нельзя ли распространить эту идею в мир комплексных чисел и сказать, что для любых двух комплексных чисел zи wвыражение z ^wозначает просто-напросто e ^wln  z?

Можно, конечно, и именно так и делается. Если пожелать возвести -4 + 7 iв степень 2 - 3 i, то надо сначала вычислить логарифм числа -4 + 7 i, который оказывается равным примерно 2,08719 + 2,08994 i. Затем надо умножить это на 2 - 3 i, что даст 10,4442 - 2,08169 i. И теперь возвести число eв эту степень, что и даст окончательный результат -16793,46 - 29959,40 i. Итак,

(-4 + 7

i) ^2 - 3 i= -16793,46 - 29959,40 i.

Ничего сложного! Еще пример: поскольку -1 =  e ⁱ, извлечение квадратного корня из обеих частей даст i= e ⁱ/2. И если теперь возвести обе части в степень i, то, снова пользуясь 3-м правилом действий со степенями, получим i ⁱ= e ^-/2. Заметим, что это вещественное число, равное 0,2078795763….

Поскольку можно возводить любое комплексное число в любую комплексную степень, несложным должно оказаться возведение вещественногочисла в комплексную степень. Следовательно, для заданного комплексного числа zможно вычислить 2 ^z, 3 ^z, 4 ^zи т.д. Понятно, к чему идет дело. Можно ли расширить область определения дзета-функции

в мир комплексных чисел? Можно, конечно. С комплексными числами, доложу вам, можно делать что угодно.

III.

Поскольку формула для дзета-функции остается бесконечной суммой, возникает вопрос о сходимости. Оказывается, что сумма сходится для любого комплексного числа, вещественная часть которого больше единицы. Математики скажут «в полуплоскости Re( s) > 1», где Re( s) используется для обозначения вещественной части числа s.