Психология критического мышления

1. Большая дюжина: игра стоит один доллар. Если, бросив пару игральных костей, вы получите 12 очков, вам вернут ваш доллар плюс еще 24 доллара. Если выпадет любая другая сумма, вы проиграли свой доллар.

2. Счастливая семерка, игра стоит один доллар (так же, как в предыдущем случае). Если, бросив пару игральных костей, вы получите в сумме 7 очков, вам вернут ваш доллар плюс еще б долларов. Если выпадет любая другая сумма, вы проиграли свой доллар.

Теперь выберите либо ставку номер 1, либо ставку номер 2.

Большинство людей выбирает ставку номер 1, считая, что 24 доллара, которые они выиграют, если выпадет 12 оков, в четыре раза больше, чем 6 долларов, которые можно выиграть, если выпадет 7 очков, а денежная величина одинакова для каждой ставки. Давайте проверим, насколько правильны такие рассуждения.

Чтобы выяснить, какая из ставок выгоднее, надо рассчитать вероятность выигрыша и проигрыша в каждом из случаев. Существует формула, которая учитывает все эти значения и дает ожидаемое значение (ОЗ) выигрыша для каждой игры. Ожидаемое значение — это количество денег, которое можно ожидать выиграть при каждой ставке, если вы все время будете продолжать играть. Формула для расчета ожидаемого значения (ОЗ) имеет следующий вид:

ОЗ = (вероятность выигрыша) х (величина выигрыша) + (вероятность проигрыша) х (величина проигрыша).

Давайте вычислим ОЗ для первой ставки. Начнем с расчета вероятности выпадения 12 при броске пары игральных костей. Существует только один способ получить 12: когда на каждой из костей выпадет 6. Вероятность этого события при условии, что кости «честные», равна 1/6 х 1/6 = 1/36 = 0,028. (Поскольку нас интересует вероятность выпадения 6 и на первой, и на второй кости, мы используем правило «и» и перемножаем вероятности.) Таким образом, выпадение 12 ожидается в 2,8 % случаев. Чему равна вероятность, что 12 не выпадет? Поскольку вы уверены, что 12 либо выпадет, либо не выпадет (других исходов быть не может), можно вычесть 0,028 из 1. Вероятность того, что выпадет не 12, равна 0,972. (Это значение с небольшой ошибкой округления можно получить также, если рассчитать вероятности 35 остальных возможных исходов — каждая из них равна 1/36 — и сложить их.) Все исходы, возможные при броске пары игральных костей, показаны на рис. 7.4.

ОЗ (1-я ставка) = (вероятность выпадения 12) х (выигрыш) + (вероятность выпадения не 12) х (проигрыш)

ОЗ (1-я ставка) = 0,028 х $24 + 0,972 х (-$1)

ОЗ (1-я ставка) = $0,672 — $0,97

ОЗ (1-я ставка) = — $0,30

Давайте посмотрим, из чего состоит эта формула. Если выпадет 12, вы выиграете $24, которые дают величину выигрыша. Если выпадет любое другое число, вы потеряете доллар, который заплатили, чтобы вступить в игру, поэтому величина проигрыша равна $1. Вероятность выигрыша умножается на величину выигрыша. Вероятность проигрыша умножается на величину проигрыша. Затем эти два произведения складываются. ОЗ при такой ставке равно $0,30. Это означает, что в конечном счете, если вы будете продолжать играть в эту игру много раз, вы можете ожидать, что будете проигрывать в среднем по $0,30 при каждой игре. Конечно, при каждой игре вы можете или проиграть $1, или выиграть $24, но после множества игр вы проиграете в среднем по $0,30 за одну игру. Если вы сыграете 1000 раз, ставя каждый раз по доллару, то вы потеряете $300.

Сравним этот результат со второй ставкой. Чтобы рассчитать ОЗ для второй ставки, мы начнем с вычисления вероятности выпадения 7 очков при броске пары костей. Сколько существует способов получить 7, бросив пару костей? Семь очков получится, если выпадет 1 на первой кости и 6 на второй, 2 и 5, 3 и 4, 4 и 3, 5 и 2 или 6 и 1. Таким образом, существует 6 возможных способов получить 7 очков из 36 возможных исходов. Вероятность любого из этих исходов равна 1/6x 1/6 = 1/36. (Это вероятность получить, например, 1 на первой кости и 6 на второй кости.) Для определения вероятности того, что за первым выпавшим числом последует второе нужное число, вы должны применить правило «и». Поскольку теперь вас интересует вероятность выпадения 1 и 6, или 2 и 5, или 3 и 4, или 4 и 3, или 5 и 2, или 6 и 1, то следующим шагом должно быть применение правила «или». Поскольку существует 6 возможных комбинаций, вам надо сложить шесть раз по 1/6 (что, конечно, то же самое, что умножить 1/36 на 6). Таким образом, вероятность выпадения 7 очков при броске пары костей равна 6/36 (1/6 или 0,167). Вероятность выпадения любой другой суммы очков (не 7) равна 1–0,167 = 0,833. Теперь мы подсчитаем 03 для второй ставки:

ОЗ (2-я ставка) = (вероятность выпадения 7) х (выигрыш) + (вероятность выпадения не 7) х (проигрыш)

Рис. 7.4. Древовидная диаграмма, изображающая все исходы, возможные при броске пары игральных костей.

ОЗ (2-я ставка) = 0,167 х $6 + 0,833 х (- $1)

ОЗ (2-я ставка) = $1,002 — $0,833 = $0,169, или приблизительно $0,17.