Путешествие к далеким мирам

L, а — в радиусах земного шара.

Примеры использования формул

1. Какова должна быть скорость корабля при взлете с Земли для того, чтобы он смог совершить полет на Меркурий по наивыгоднейшей, то есть касательной, эллиптической орбите?

^{Траектория полета на Меркурий по касательной эллиптической орбите.}

В этом случае

и

Так как круговая скорость Земли равна 29,8 км/сек, то, очевидно, кораблю при взлете нужно сообщить скорость против направления движения Земли по орбите, равную 29,8 — 22,3 = 7,5 км/сек.

2. Какова будет скорость корабля в упомянутой выше задаче на орбите Меркурия?

В этом случае L₂=0,387 а. е., а = 0,6935 а. е., вследствие чего

Так как круговая скорость Меркурия равна 47,9 км/сек (это можно проверить и так — она равна круговой скорости Земли, деленной на √0,387, то есть то корабль будет двигаться быстрее Меркурия на величину 57,5 — 47,9 = 9,6 км/сек.

^{Траектория полета ракеты с Земли на спутник.}

3. Какова должна быть взлетная скорость ракеты, доставляющей о Земли груз на искусственный спутник, находящийся на суточной орбите (высота 35 800 км), если сопротивление воздуха не учитывать? Какова будет скорость этой ракеты на орбите спутника?

В этом случае

При взлете L₁ = 1, поэтому

На орбите поэтому

Примечание. Для решения этой задачи можно воспользоваться соотношением, связывающим величины скоростей в апогее и перигее эллиптической орбиты:

V_ап· L_ап = V_пер. L_пер,

где V_ап., V_пер. — соответственно скорости движения в апогее и перигее (в задаче V₂, V₁);

L_ап, L_пер., — расстояния апогея и перигея от центра Земли (в задаче L₂, L₁).

Это соотношение непосредственно вытекает из закона сохранения момента количества движения.

Так как L_ап = L₂ = 6,6; L_пер = 1 и V_пер.= V₁ = 10,4 км/сек, то

Точно так же в предыдущей задаче

4. Какова будет скорость советской искусственной планеты в ее движении вокруг Солнца?

По предварительным сведениям, опубликованным в советской печати, наибольшее расстояние новой планеты от Солнца будет равно 197,2 миллиона километров, а наименьшее — 146,4 миллиона километров. Следовательно, большая ось орбиты будет равна 343,6 миллиона километров.

Но тогда и максимальная скорость планеты (в перигелии):

а минимальная скорость (в афелии):

VI. ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ПОЛЕТА ПО ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЕ

При движении по эллипсу вокруг Солнца продолжительность полного обращения может быть определена с помощью третьего закона Кеплера, по которому квадраты времен обращения планет относятся как кубы их средних расстояний от Солнца (то есть кубы больших полуосей эллиптических орбит):

где Т — продолжительность одного обращения;

а — большая полуось эллиптической орбиты.

Проще всего производить сравнение с периодом обращения Земли, равным, как известно, одному году, или 365 суткам. Тогда

Т = 365·a^3/2

где Т — в сутках, а — в астрономических единицах.

При движении вокруг Земли период обращения можно сравнивать с периодом обращения кругового спутника у самой поверхности, то есть на высоте Н = О. Этот период равен, как указывалось выше, 5070 секундам.

Поэтому

Т = 5070·a^3/2

где Т — в секундах,

а — в радиусах земного шара.

Примеры использования формул

1. Какова продолжительность полета корабля с Земли до Меркурия по наивыгоднейшему касательному полуэллипсу?

Период обращения по наивыгоднейшему эллипсу

Т = а^3/2 = 0,693^3/2 ≈ 0,58 лет.

Продолжительность полета

2. Какова продолжительность полета грузовой ракеты с Земли до суточной орбиты по касательному полуэллипсу (сопротивлением воздуха и активным участком траектории пренебрегаем)?

Т=5070·3,8^3/2 = 37 600 секунд

Продолжительность полета

= 18 800 секунд, или ≈5,2 часа.

3. Какова продолжительность полета на Луну по наивыгоднейшему касательному полуэллипсу?

В этом случае поэтому Т = 5070 · 30,6^3/2 ≈ 860 000 секунд, или около 240 часов.

Продолжительность полета

≈ 120 часов (5 суток).