Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики

Пример такого аттрактора — самое нижнее положение качелей: если человек находится в этой точке, он в ней и останется, если только не будет применять силу. И наоборот, находясь вверху, он стремится к этой нижней точке (это и указывает, что речь идет об аттракторе).

Но аттракторами являются не все неподвижные точки. Мяч на вершине горы представляет собой другую неподвижную точку — репульсор: минимальное воздействие вызовет перемещение мяча от нее. Итак, неподвижные точки, являющиеся аттракторами, совпадают с системами в стабильном равновесии, в то время как неподвижные точки, являющиеся репульсорами, показывают нам, что система находится в состоянии нестабильного равновесия.

Один из самых интересных видов аттракторов — это предельный цикл, или периодическое движение, к которому стремится система, если располагает достаточным количеством времени.

Пример предельного цикла. Все траектории стремятся к форме пути, выделенному жирным.

Как можно заметить, любая соседняя орбита предельного цикла стремится к нему. Классический пример предельного цикла — часы с маятником, период колебания которого определен длиной маятника, а дополнительная энергия исходит от гири и от завода часов. Обычный маятник, однако, стремится потерять энергию и остановиться в точке стабильного равновесия. Предельные циклы возникают только в системах с постоянным притоком энергии, как в случае с земной атмосферой.

Предельные циклы замечены во всех видах систем. Наиболее интересный случай — химические часы, о которых далее мы расскажем подробнее: в них два вещества реагируют друг с другом, и одно способно превращаться в другое. В некоторых условиях оба вещества превращаются друг в друга с определенным периодом, который можно видеть невооруженным глазом по смене цвета раствора.

Еще сложнее, чем предельные циклы, странные аттракторы. В этом случае траектории стремятся к области с фрактальной структурой. Фрактал — это геометрическая фигура, которая обладает самоподобием, то есть любая часть фрактала подобна ему целиком. Классический пример — снежинка Коха.

Различные этапы создания снежинки Коха.

Конечная фигура получается в результате бесконечного числа этапов.

Эту фигуру можно построить, применяя одну и ту же трансформацию несколько раз для каждой линии рисунка, так что он усложняется с каждым циклом. Трансформация применяется бесконечное число раз, и это предполагает, что фигура имеет одинаковый вид, в каком бы масштабе мы на нее ни смотрели. На рисунке слева на следующей странице показано множество Мандельброта — одна из самых известных фрактальных структур, в определенном масштабе, а справа — тот же самый фрактал, увеличенный в 100 раз.

Фракталы имеют дробную размерность, то есть для них характерно не целочисленное количество измерений — одно, два или три, — а, например, 1,65. Это можно объяснить следующим образом: если вычислить периметр снежинки Коха, окажется, что он бесконечен, потому что линии фигуры бесконечно сложны. Итак, с одной стороны, определяющая его линия имеет больше одного измерения, значит, ее размерность должна лежать в промежутке между единицей и двумя. Существуют различные способы вычислить размерность фрактала, и в случае со снежинкой она примерно равна 1,26.

Поскольку странный аттрактор — это фрактальная геометрическая фигура, то хотя она и ограничена конечной областью фазового пространства, траектории необязательно должны повторяться или сходиться в одной точке. На самом деле предполагается непериодическое поведение: тело движется непрогнозируемо, даже будучи ограниченным определенной областью фазового пространства, и никогда не проходит два раза через одну и ту же точку, иначе его траектория была бы периодической. В целом траектория тела напоминает изображенную на рисунке.

* * *