Путеводитель для влюбленных в математику

Найти ортоцентр тупоугольного треугольника несколько сложнее. Фокус состоит в том, чтобы продолжить его стороны, пока они не пересекутся с соответствующими высотами.

В треугольнике мы делаем следующие дополнительные построения: (1) проводим через точку прямую, перпендикулярную (эту сторону необходимо продолжить); (2) проводим через точку прямую, перпендикулярную ; (3) проводим через точку прямую, перпендикулярную (ее также необходимо продолжить). Точка пересечения этих прямых и есть ортоцентр.

Глава 14 Пифагор и ферма

Страшила из книги «Волшебник страны Оз» так и не обрел мозги, но получил диплом. Он с гордостью продемонстрировал свой усовершенствованный интеллект, сформулировав абсолютно исковерканную теорему Пифагора: «Сумма квадратных корней из двух сторон равнобедренного треугольника равна квадратному корню из третьей стороны».

На самом деле теорема Пифагора ничего не говорит о равнобедренных треугольниках[147]. Она увязывает длины сторон прямоугольного треугольника (один из углов в этом треугольнике прямой, то есть равен 90°).

Обозначим длины катетов прямоугольного треугольника (то есть сторон, образующих прямой угол) буквами a и b, а длину гипотенузы (стороны напротив прямого угла) – буквой c.

Теорема Пифагора гласит:

a² + b² = c².

Вот словесная формулировка (несомненно, именно это и намеревался сказать Страшила):

Теорема Пифагора.В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов[148].

Наше доказательство будет базироваться на рассечении большой фигуры на малые: мы сгруппируем несколько прямоугольных треугольников в одну фигуру, посчитаем сначала ее площадь, а потом сумму площадей образующих ее фрагментов и – вуаля! – докажем теорему Пифагора.

Расположим четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами a и b и гипотенузой c так, чтобы они образовали квадрат со стороной a + b:

Очевидно, что площадь квадрата равна (a + b) ² = a² + 2ab + b².

Теперь рассечем большой квадрат на пять составных частей: малый квадрат со стороной c и четыре треугольника; сложим треугольники попарно в два прямоугольника со сторонами a и b:

Общая площадь этих фигур – c² + 2ab.

Очевидно, что площадь большого квадрата равна площади составляющих его частей:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab.

Когда мы вычтем из обеих частей тождества 2ab, теорема Пифагора будет доказана[149].

Вот другое доказательство, тоже основанное на рассечении некой геометрической фигуры.

Расположим четыре одинаковых прямоугольных треугольника так, чтобы они образовали квадрат c × c:

Общая площадь этой фигуры с². Посчитайте самостоятельно сумму площадей треугольников и малого квадрата в центре. Ответ вы найдете в конце главы.

Еще одно доказательство на основе рассечения геометрической фигуры придумал Джеймс Гарфилд, 20-й президент Соединенных Штатов[150].

Сгруппируем три прямоугольных треугольника, два одинаковых поменьше и один побольше, чтобы они образовали трапецию[151]:

Посчитайте сначала площадь трапеции, а затем сумму площадей образующих ее треугольников. Ответ – в конце главы.

Абсолютная величина комплексного числа[152]

Вычислить абсолютную величину[153] числа означает лишить его минуса, если оно отрицательное. Например, | – 5 | = 5. Иными словами, число –5 включает 5 единиц.

Более точное определение абсолютной величины:

Например, |12 | = 12, | – 7 | = 7, |0 | = 0.

Вот геометрическая интерпретация: абсолютная величина числа x – это расстояние между точкой с координатой x и точкой с координатой 0 на числовой оси:

Абсолютная величина показывает, насколько число удалено влево или вправо от нуля; знак числа (плюс или минус) не играет роли.

Как мы распространим идею абсолютной величины на комплексные числа? Что значит |3 + 4i|? Мы не можем сказать, отрицательно или положительно число 3 + 4i. Эти термины неприменимы к комплексным числам. Наша цель – выяснить, насколько комплексное число удалено от нуля. Для этого нам необходима геометрическая интерпретация комплексного числа. Действительное число задает точку на числовой прямой; комплексное задает точку на плоскости. Например, комплексное число 3 + 4i можно изобразить геометрически, если отложить три единицы вправо и четыре единицы вверх от начала координат, как показано на рисунке.