Путеводитель для влюбленных в математику

Нарисуем круг на бумаге с клеточками g × g и посчитаем, сколько клеточек он затронул; обозначим их количество буквой N. Каждая клеточка имеет площадь g². Общая площадь закрашенных клеточек почти совпадает с площадью круга. Таким образом,

π ≈ Ng².

Следовательно, В упрощенном виде это приводит к соотношению

Мы нашли способ подсчитывать длины одномерных фигур и площади двумерных.

Соотношение (A) верно не только для нашей загогулины, но и для любого одномерного объекта. Когда мы делаем сетку мельче в 10 раз, количество клеточек, затронутых линией, вырастает примерно в 10 раз.

Соотношение (B) тоже выполняется не только для круга, но и для любой двумерной фигуры. Делаем сетку мельче в 10 раз – и количество клеточек, затронутых кругом, увеличивается примерно в 100 раз, потому что внутри одной большой клеточки теперь располагается 100 маленьких.

Итак:[182]

Размерность треугольника Серпинского

Мы теперь умеем уверенно отличать одномерные объекты от двумерных. Вычерчиваем объект на миллиметровке, делаем сетку все более мелкой и на каждом этапе подсчитываем затронутые им клеточки. Если выполняется соотношение (A), объект одномерный; если соотношение (B), объект двумерный.

Посмотрим, что произойдет с треугольником Серпинского на клетчатой бумаге[183]. Уместим его в клеточку 1 × 1. На рисунке показано, что будет при уменьшении размера клеточек до 1/2, 1/4, 1/8 и 1/16:

В первом случае затронуты все 4 клеточки. Во втором случае не затронуты 2 клеточки слева сверху и 2 клеточки справа сверху, а всего клеточек 16 штук. Вот таблица целиком:

Вопрос: когда мы уменьшаем сторону клеточки вдвое, количество клеточек, затронутых нашей фигурой, увеличивается в два раза (случай одномерного объекта) или в четыре раза (случай двумерного объекта)?

Разумеется, вся соль в том, что ни один из двух вариантов не подходит. На новом этапе количество клеточек вырастает ровно в три раза[184]. Их число растет быстрее, чем в случае одномерных объектов, но медленнее, чем в случае двумерных. Таким образом, размерность треугольника Серпинского лежит между двумя целыми величинами.

Мы можем в точности вычислить размерность треугольника Серпинского, но это потребует базовых знаний о логарифмах и некоторых алгебраических выкладок. Если вам все это в тягость, можете спокойно пропустить следующие абзацы.

Итак, цель состоит в том, чтобы найти формулу вроде (A) или (B): Число d в ней и будет количеством измерений нашей фигуры.

Если сторона клеточки равна (где k – натуральное число), то Вот проверка:

Формула дает в точности те же числа, что и в предыдущей таблице.

Задача состоит в том, чтобы найти такое число d, что Прологарифмируем обе части[185]:

Мы знаем Подстановка в предыдущую формулу дает:

Наряду с треугольником Серпинского существует ковер Серпинского. Вот этапы его построения:

Устремляясь к бесконечности, мы получим такую картинку:

Как вы думаете, какова размерность этого фрактала? Ответ вы найдете в конце главы.

Серпинский и Паскаль

Студенты на факультетах математики до потери пульса разлагают на множители полиномы, в первую очередь степени x + y. Восстановим в памяти, о чем идет речь:

Мы можем расположить коэффициенты данных полиномов в таблице. Ее называют треугольником Паскаля:

Мы расположили эти числа по квадратам, а теперь давайте раскрасим некоторые из них черным цветом. Пусть квадраты с нечетными числами станут черными, а квадраты с четными останутся белыми:

Продолжим вплоть до 64 ряда. Как вы думаете, что получится?

Разве это не великолепно?

Снежинка Коха

Я хочу завершить главу, посвященную фракталам, рассказом о неотразимой фигуре, придуманной Хельге фон Кохом[186]. Алгоритм ее построения чрезвычайно прост. Мы начинаем с прямого отрезка, делим его на три части и строим равносторонний треугольник на основе среднего из трех новых отрезков. Затем мы удаляем центральный отрезок. Теперь у нас есть четыре отрезка, каждый из которых в три раза меньше исходного. Мы повторяем процедуру с каждым из этих отрезков.

Чтобы получить снежинку целиком, начнем с равностороннего треугольника и проделаем описанную процедуру с каждой из его сторон. Это выглядит следующим образом:

Устремляясь к бесконечности, мы получим снежинку Коха.

Глава 18 Гиперболическая геометрия

Постулаты Евклида

Математики помешаны на определениях. Мы требуем, чтобы все концепции базировались на кристально ясных, недвусмысленных определениях. Потому любая математическая идея основана на более простых идеях. Треугольник состоит из отрезков. Рациональные числа – это отношения целых чисел.

Спускаясь с башни математических определений, рано или поздно мы дойдем до фундамента. Для греков в основании всего лежала геометрия[187].