Разыскания истины

ницы (если мы мыслим ее разделенной) измеряются с точностью все величины и открываются все истины. Изо всех же наук лишь арифметика и алгебра учат нас по преимуществу производить эти действия, производить их искусно, с ясностью и удивительным сбережением способности ума. Так что эти две науки одни дают разуму все то совершенство, всю ту обширность, какие ему доступны; посредством их одних мы открываем все истины, которые могут быть познаны с полною точностью.

Обыкновенная геометрия совершенствует не столько разум, сколько воображения, и истины, открываемые посредством этой науки, не всегда бывают так очевидны, как это воображают геометры. Например, они думают, что выразили точно известные величины, если доказали, что они равны известным линиям, линии же эти будут хордами прямых углов, стороны которых с точностью известны, или линии, определенные каким-нибудь коническим сечением. Очевидно, они ошибаются, ибо эти хорды сами по себе вовсе неизвестны. Мы знаем с большею точностью v8 или v20, чем линию, которую мы воображаем или обозначаем на бумаге как хорду прямого угла, стороны которого равны 2 или одна сторона равна 2, а другая — 4. Известно, по крайней мере, что V8 весьма близок к 3, а \20 составляет приблизительно 4 с 1/2; и можно, следуя известным правилам, постоянно приближаться к их действительной величине до бесконечности; достичь этого невозможно лишь потому, что разум не может постичь бесконечного. Но наша идея о величине хорды весьма смутная, и приходится даже прибегнуть к v8 или v20, чтобы выразить ее. Итак, геометрические построения, к которым мы прибегаем, чтобы выразить точные величины количеств неизвестных, пригодны не столько для того, чтобы направлять разум и находить искомые отношения, или истины, сколько для того, чтобы направлять воображение. Но нам нравится больше пользоваться своим воображением, чем своим разумом, и потому математики обыкновенно уважают больше геометрию, чем алгебру и арифметику.

Нескольких размышлений о правилах арифметики и алгебры достаточно, чтобы вполне понять, что эти две науки вместе составляют настоящую логику, служащую для нахождения истины и чтобы дать разуму всю ту обширность, которая доступна ему.

Мы только что сказали, что все истины суть лишь отношения, что самое простое и самое известное изо всех отношений это — отношение равенства; оно служит началом для измерения других, чтобы получилась идея неравенства; мерило, которым мы должны пользоваться, есть единица, и ее следует прибавлять или отнимать столько раз, сколько необходимо, чтобы измерить разность в неравенстве этих величин.

Ясно, что все действия, служащие к нахождению отношений равенства, будут лишь сложениями и вычитаниями, сложениями величин, чтобы уравнять их; сложениями отношений, чтобы уравнять

490

отношения или привести величины к пропорциональности; наконец, сложениями отношений, чтобы уравнять отношения отношений или привести величины к сложной пропорциональности.

Чтобы уравнять 4 с 2, надо лишь прибавить 2 к 2 или отнять 2 от 4, или, наконец, прибавить единицу к 2 и отнять ее от 4. Это

ясно.

Для уравнения отношения или пропорции 8 к 2 с отношением

6 к 3 не следует прибавлять 3 к 2 или отнимать 3 от 8, чтобы разность этих обоих чисел равнялась 3, которое составляет разность 6 и 3: это значило бы прибавлять и уравнивать простые величины, разность 8 и 5 с разностью 6 и 3. Надо найти прежде величину отношения 8 к 2, что составит 8/2; разделив 8 на 2, мы найдем, что показатель этого отношения будет 4 или что 8/2 равно 4. Затем надо посмотреть, какова величина отношения 6 к 3, и мы найдем, что она равна 2. Итак, мы узнаем, что эти два отношения: 8/2, равное 4, и 6/3, равное 2, разнятся на 2. Чтобы уравнять их, можно или прибавить к 6/3 еще 6/3, равное 2, ибо у нас получится 12/3, что составит отношение, равное 8/2, или отнять 4/2, равное 2, от 8/2, ибо мы получим 4/2, представляющее собою отношение, равное 6/3; или же, наконец, мы можем прибавить единицу к 6/3 или отнять ее от 8/2, ибо мы получим 9/3 и 6/2, что составит равные отношения,

ибо 9 относится к 3, как 6 относится к 2.