Разыскания о жизни и творчестве А.Ф. Лосева

Представления о мощности (или кардинальном числе, кардинале) и типе (порядковом типе, или ординальном числе, ординале) произвольного множества появились у Кантора на пути дальнейшего совершенствования аппарата сравнения множеств и установления их эквивалентности. В области конечного такое сравнение легко делается посредством оценки количества элементов множеств (больше то множество, у которого большее количество элементов), но «когда мы поднимаемся в область бесконечного», говорил Кантор, понятие количества «как бы раскалывается» надвое — на понятие мощности и порядкового типа ²³. Разница между ними лежит в степени отвлечения от характера элементов множества. Точнее, если в общем случае не принимается во внимание качественное наполнение множеств, природа их элементов, но важен приданный множествам порядок, то множества будут сравниваться по порядковому типу; если же отвлечение произведено и от порядка элементов (и тем самым уже не оставляется ни малейших следов качественности), то множества будут сравниваться по мощности. Два множества считаются эквивалентными, если они имеют одинаковую мощность, т. е. между их элементами устанавливается взаимно-однозначное соответствие без соблюдения порядка сравниваемых элементов. Так, эквивалентны множество цветов радуги и множество музыкальных тонов или — пример из списка первых математических подвигов Кантора — эквивалентны множество натурального ряда чисел и множество положительных рациональных чисел. Два множества считаются подобными, если они имеют одинаковый порядковый тип, т. е. при установлении однозначного соответствия множеств сохранен также порядок расположения их элементов. Так, подобны множество всех точек живописной картины и множество всех точек ее копии ²⁴.

Как уже было сказано, кардиналы и ординалы в конечной области совпадают, поглощенные единым понятием количества, они присутствуют здесь как бы в потенции, в полную силу разворачиваясь лишь в области бесконечного. Они, выходит, перенесены из бесконечных сфер в область конечного для достижения идейной однородности, для демонстрации слитости общего устройства мира чисел. Кантор сделал еще один чрезвычайно важный перенос, теперь уже распространяя навыки работы с конечными множествами на поприще бесконечного. Он постулировал принципы порождения чисел, одинаково справедливые и в конечном и в бесконечном: с одной стороны, к уже образованному числу всегда можно добавить очередную единицу и, следовательно, можно продолжить ряд чисел по возрастанию; с другой стороны, всякому такому ряду можно выставить некий предел в виде такого числа, которое определяется как первое большее всех чисел данного ряда ²⁵. Со вторым принципом порождения тесно связано еще одно фундаментальное понятие из лосевского перечня — актуальная бесконечность. До Кантора большинство математиков и философов признавало только потенциальную бесконечность, т. е. такую (строго говоря, единственную) бесконечность, которую нельзя «пощупать», нельзя охарактеризовать никаким определенным образом, например, числом. Единственное, что описывает «лик» такой бесконечности, так это ее безликая переменчивость, вечная устремленность куда-то. Потому в потенциальной бесконечности различимо разве что направление перемен, — как определил Кантор, либо рост «сверх всяких конечных границ», либо убывание «ниже всякой конечной границы малости» ²⁶. С принятием же идеи актуально бесконечного (и привлечением вышеизложенного аппарата сравнения множеств) перед создателем теории множеств открылось нечто головокружительное: существует не одна-единственная бесконечность, да и то какая-то сомнительная, но целая иерархия бесконечностей различных классов ²⁷, причем эта иерархия поддается достаточно строгому описанию. Открылась необъятная область, вместе с тем охваченная ясной структурой, буквально разверзлась область трансфинитного (мощности и типы порядков Кантор называл трансфинитными, т. е. сверхконечными числами), которая лежит «как бы на середине между абсолютною полнотою и конечным» (констатация Флоренского) и «заполняет обширную область возможного в познании Бога» (вторит ему Кантор) ²⁸. Вспоминая известный афоризм Паскаля о человеке («среднее между всем и ничем») и комментируя канторовские результаты, Флоренский формулирует эту «срединность» еще и так:

«Если мы ничто перед Абсолютным, то все же мы — нравственно однородны с Ним, мы можем постигать Его <…>; мы носим в себе трансфинитное, сверх-конечное, мы — космос — не являемся чем-то конечным, прямо противоположным Божеству, мы — трансфинитны» ²⁹.