Разыскания о жизни и творчестве А.Ф. Лосева

Однако Кантор долго отмалчивался недаром, ибо его теория явилась перед ученым сообществом во всеоружии новых и, главное, фундаментальных понятий, на которых строится не какое-то фрагментарное, пусть и блестящее умозаключение, но вполне законченное здание цельного мировоззрения. Вместе со счастливо найденной общей идеей множества (уже ее запасов хватает, чтобы на протяжении почти века определять то, что называется теоретико-множественным стилем мышления) громадную роль несущих конструкций играют канторовские понятия мощности и порядкового типа множеств, а также понятие актуальной бесконечности. Мы будем говорить о них по необходимости кратко.

Представления о мощности (или кардинальном числе, кардинале) и типе (порядковом типе, или ординальном числе, ординале) произвольного множества появились у Кантора на пути дальнейшего совершенствования аппарата сравнения множеств и установления их эквивалентности. В области конечного такое сравнение легко делается посредством оценки количества элементов множеств (больше то множество, у которого большее количество элементов), но «когда мы поднимаемся в область бесконечного», говорил Кантор, понятие количества «как бы раскалывается» надвое – на понятие мощности и порядкового типа ²³. Разница между ними лежит в степени отвлечения от характера элементов множества. Точнее, если в общем случае не принимается во внимание качественное наполнение множеств, природа их элементов, но важен приданный множествам порядок, то множества будут сравниваться по порядковому типу; если же отвлечение произведено и от порядка элементов (и тем самым уже не оставляется ни малейших следов качественности), то множества будут сравниваться по мощности. Два множества считаются эквивалентными, если они имеют одинаковую мощность, т.е. между их элементами устанавливается взаимно-однозначное соответствие без соблюдения порядка сравниваемых элементов. Так, эквивалентны множество цветов радуги и множество музыкальных тонов или – пример из списка первых математических подвигов Кантора – эквивалентны множество натурального ряда чисел и множество положительных рациональных чисел. Два множества считаются подобными, если они имеют одинаковый порядковый тип, т.е. при установлении однозначного соответствия множеств сохранен также порядок расположения их элементов. Так, подобны множество всех точек живописной картины и множество всех точек ее копии ²⁴.