Россия земная и небесная. Самое длинное десятилетие

За окном открылись водные просторы Клязьминского водохранилища. Это уже наши места. Они становятся все более знакомыми, и вот с правой стороны мелькнуло столь памятное общежитие, а за ним, загороженный теперь новыми постройками, учебный корпус. Почти полвека тому назад мы первыми вошли в него с непередаваемым чувством причастности к чему-то значительному. Избитые это слова «храм науки», но для нас это действительно был храм.

Ощущение значительности нашего физтеховского существования поддерживалось фундаментальностью и обширностью учебной программы и высоким качеством преподавания. По каждой дисциплине нам читали лекции и вели практические занятия лучшие специалисты, среди профессоров было много академиков. Идя по коридору, можно было столкнуться лицом к лицу с Капицей, Ландсбергом, Спицыным, Христиановичем, Лаврентьевым, Ландау.

Основной инструмент теоретического естествознания – математический анализ – мы осваивали на лекциях Сергея Михайловича Никольского, ставшего академиком несколько позже, но и тогда уже имевшего большой научный авторитет. Поскольку при решении задач по физике необходимо брать интегралы, а физика как главный наш предмет «не могла ждать», он построил свой курс следующим образом: в зимнем семестре прочел «первый концентр», в котором дал приемы интегрирования безо всякого обоснования понятия интеграла, а в весеннем семестре начал все как бы заново, но уже «от яйца» и с полной строгостью. Тем яйцом, в котором, как в зародыше, содержится дифференциальное и интегральное исчисление, являются действительные числа, поэтому в первую очередь надо было растолковать нам, что это такое. Никольский избрал для этого способ, придуманный немецким математиком Дедекикдом: определял действительное число как «сечение» – разбивку множества всех рациональных чисел на два класса, где каждое число нижнего класса меньше любого числа верхнего класса. Понятия «рациональное число» и «класс» принимались как самоочевидные, так что Никольский считал определение совершенно строгим, а мы – тем более. Для нас дедекиндовы сечения были последним словом науки, окончательно решившим проблему обоснования анализа.

И только много лет спустя я узнал, что метод сечений относится к середине девятнадцатого века, так что в тот момент, когда его нам давали, это был уже анахронизм. Но Никольский не являлся специалистом по математической логике, которая одна может решить, какое рассуждение является строгим, а какое нет, да в то время ею у нас никто всерьез не занимался, кроме, пожалуй, Новикова-старшего, так что представления о строгости были туманными даже у корифеев анализа. Марксистские идеологи, которых все побаивались, презрительно называли математическую логику «формальной логикой» и противопоставляли ей «диалектическую логику», которую в математике никуда не приспособить. Так и побратались мы с этими сечениями, которые, уверен, каждый из нас запомнил на всю жизнь. А это был всего лишь один из вариантов искусственных построений, которыми пытались обосновать анализ в период увлечения теорией множеств. Все они были логически эквивалентными между собой и с современной точки зрения логически несостоятельными. Исходным понятием была в них актуальная бесконечность – бесконечное множество, представленное сразу всеми своими элементами и рассматриваемое как единый объект, с которым будто бы можно обращаться точно так же, как с любым конечным объектом. Считалось, что это понятие открыто интуиции всякого человека, так что в разъяснениях не нуждается. На самом же деле такая интуиция присуща только профессиональным математикам, и это даже не интуиция, а привычка, вырабатываемая в результате частого употребления этого понятия, простота которого обманчива. В начале нашего века выяснилось, что обращаться с ним надо крайне осторожно: в теории множеств обнаружились неустранимые внутренние противоречия. С какого-то момента специалистам стало ясно, что на рассуждения, в которых фигурируют актуально-бесконечные множества, нельзя очень-то полагаться, ибо они могут здорово подвести. Так начался возврат к тому представлению о строгости, какое принималось всеми учеными до начала теоретико-множественного бума: строгость есть логика плюс арифметика, а все, что сверх того, – от лукавого.

Но и тут математикам не повезло: в начале тридцатых годов Гедель показал, что и логико-арифметический метод ненадежен, так как страдает неполнотой, а может быть, и внутренней противоречивостью. А в конце семидесятых, после того как была доказана теорема Париса-Харрингтона, стало известно, что анализ принципиально невозможно свести даже к такой не совсем надежной связке, как логика с арифметикой.