Русский преферанс

Естественный ответ от здравого смысла — 4/32 (в колоде 32 карты, из них четыре восьмёрки). А если листать обе колоды до конца? Вполне логично ожидать, что совпадение карт по старшинству (две восьмёрки, две дамы, два туза и т. д.) произойдёт четыре раза, так как . Кстати, ответ не зависит от количества карт в колоде. Повторите опыт многократно, и вы получите экспериментальное подтверждение теории вероятностей. С увеличением числа опытов количество совпадений карт стремится к четырём. Значит ли это, что при однократном перелистывании колод будут совпадать всегда четыре карты? Безусловно, нет. Количество совпадающих карт теоретически может изменяться от нуля до тридцати двух. Но если вам на пари предложили угадать, сколько карт совпадёт, нужно ставить на совпадение четырёх карт. В данном случае это решение оптимизирует ваш выигрыш. При однократном перелистывании колод можно и проиграть. На длинной дистанции при многократном перелистывании колод победит тот, кто сделает ставку на совпадение четырёх карт.

Примеры для самостоятельного анализа

1. Чему равно математическое ожидание совпадения карт по масти и по старшинству при одновременном перелистывании двух колод (две дамы пик, два туза треф и т. д.)?

2. Чему равно математическое ожидание совпадения карт по мастям при перелистывании двух колод по 32 карты в каждой?

Ответы: 1 (1), 2 (8).

Естественно, определение оптимальной тактики, обеспечивающей максимальный выигрыш при длительной игре в преферанс, базируется на более сложных соотношениях. Эту задачу можно разделить на два этапа. Сначала нужно определить вероятность повторения расклада как случайного события, а затем оценить различные возможные решения и оптимизировать математическое ожидание выигрыша. Большинство практических задач расчёта вероятностей определённого расклада, нужного прикупа и т. д. можно свести к следующей общей схеме.[104]

В генеральной совокупности, состоящей из n карт, имеются n₁ красных и n-n₁ чёрных карт. Из этой совокупности берётся выборка в r карт (без учёта порядка карт в выборке). Нужно найти вероятность q_k того, что такая выборка содержит ровно k красных карт (k≤n₁;k≤r). Таким образом, выборка должна содержать k красных и r-k чёрных карт. Красные карты (их всего n₁) могут быть выбраны  различными способами, чёрные карты —  способами.

Здесь — так называемые биномиальные коэффициенты:[105] , где  — число возможных перестановок из а элементов.

Отметим, что  — выборка, содержащая все а красных карт, может быть создана единственным способом.

Любой способ выбора k красных карт может комбинироваться с любым способом выбора r-k чёрных карт. Вероятность q_k, что такая выборка содержит ровно k красных карт, определяется следующей зависимостью: . (1)

Если выборка должна содержать только красные карты (r=k), то зависимость (1) упрощается: . (2)

Определённая таким образом система вероятностей q_k называется гипергеометрическим распределением и кажется достаточно сложной. Однако приведённые ниже примеры покажут, что расчёты вероятностей реальных раскладов достаточно просты, а их результаты обычно могут быть сведены в таблицы.

Например, вы купили прикуп, сделали снос, на руках шесть старших карт в пике и AKQx в трефе (трефа не сносилась). Какова вероятность того, что у одного из партнёров на руках четвёртый валет треф?

n₁=k=4; n=20; r=10

. (3)

Таким образом, четвёртая трефа встретится в 87 случаях из 1000 (вероятность расклада удваивается, поскольку вам всё равно, у кого из партнёров будет четвёртый валет треф).

Или, например, вы хотите объявить мизер. Для того чтобы он был чистым, нужно купить в прикупе одну из семи заказных карт. Какова вероятность, что вы купите нужную карту и сыграете «чистый» мизер?

. (4)

Второй член в (4) определяет вероятность покупки двух из семи заданных карт.

Система вероятностей q_k легко обобщается на случай, когда исходная совокупность из n карт содержит более двух классов элементов.

Вероятность того, что выборка объёма r содержит k₁ элементов первого класса, k₂ элементов второго класса и r-k₁-k₂ элементов третьего класса, определяется аналогично (1):

. (5)

где n₁ и n₂ — количество элементов первого и второго класса в генеральной совокупности; n-n₁-n₂— число элементов третьего класса. Элементами класса могут быть карты какой-то масти, определённый набор карт и так далее.

Точно так же можно определять вероятности для выборки, содержащей четыре класса элементов. Рассмотрим пример, в котором элементами каждого класса являются карты одной из четырёх мастей.

У вас на руках AKxx, Axx, Axx, а в сносе две фоски четвёртой масти. Первая масть — козырная. Какова вероятность того, что вы проиграете контракт на шесть взяток, если партнёры вистуют в светлую?

На руках у вистующих четыре козыря, по пять карт в других ваших мастях и шесть карт в четвёртой масти. Для подсада контракта у кого-то из партнёров должен найтись один из губительных для вас раскладов: