Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма

В своей "Геометрии· Декарт сделал различие между геометрическими и механическими кривыми. Первые имели выражение в алгебраических уравнениях, то есть многочленах. Механические кривые, наоборот, не имели такого выражения; они представляли собой траекторию перемещения некоей точки, которая двигалась в соответствии с определенными правилами. В "Геометрии" Декарт счел невозможным анализ механических кривых. Зато Ферма в своей безымянной рукописи 1640 года изучал три геометрические кривые: циссоиду, конхоиду и декартов лист, а также циклоиду — механическую кривую. Циклоида — это ответ на кажущийся парадокс Аристотеля о расстоянии, которое проходят две точки, расположенные в двух концентрических окружностях, катящихся по линии. Циклоида образуется движением определенной точки колеса, катящегося без скольжения по прямой. При анализе этой проблемы Ферма был вынужден, "чтобы избежать иррациональности", приравнять отрезок RB касательной к отрезку RN кривой.

Methodus был написан до того, как Ферма изобрел аналитическую геометрию. Единственное представление о классических кривых все еще принадлежало Аполлонию. Именно поэтому Ферма продолжал применять геометрические определения грека вместо своего более позднего алгебраического представления. Но в "Аналитическом исследовании" Ферма уже был способен использовать огромную силу своих алгебраических уравнений для подхода как к проблеме максимумов и минимумов, так и к проблеме касательных. Действительно, в его записях было каждый раз все меньше диаграмм. Ему было достаточно уравнения, которое полностью определяло кривую, для глубокого анализа ее свойств. С помощью такого уравнения он мог искать максимумы и минимумы, с одной стороны, и касательные, с другой. Алгебраический метод вновь показывал свою эффективность. В последующие годы он пошел еще дальше, практически дойдя до понятия произвольно малого расстояния в работе о касательной к циклоиде, то есть находясь на самом пороге дифференциального исчисления.

Но Ферма лишь наполовину осознавал огромную силу своих методов. Увлеченный — как и все его современники, а также его учитель Виет — восстановлением великого труда греков, он не обратил внимания на то, что его мысль пошла по пути, открывающему новые возможности перед математикой. Захваченный прошлым, он не смог справедливо оценить важность своих достижений.

Действительно, вспомним, что производная в заданной точке кривой определяется как угловой коэффициент касательной к данной точке. Ферма этого не видел... поскольку на самом деле ему не пришло в голову рассматривать угловой коэффициент как уравнение. Действительно, он вычислял не угловые коэффициенты, а подкасательные, то есть проекции касательной на ось абсцисс, и делал справедливый вывод о том, что как только вычислена данная проекция, нарисовать касательную тривиально просто. Очевидно, именно по этой причине он так и не заметил, что угловой коэффициент может быть также выражен в виде кривой, определенной уравнением. Ферма был неспособен увидеть, что существует отношение между двумя уравнениями с двумя переменными, в котором дифференцирование — это способ превратить одно в другое. Как бы то ни было, нам нужно вернуться в то время, когда Methodus только начал распространяться: аналитическая геометрия и обоснования "Аналитического исследования" были в будущем. В Methodus есть только инструкции. Чтобы поверить Ферма, требовалась благосклонность к автору, а в то время жил человек, который очень недружелюбно относился к Пьеру де Ферма и совсем не собирался проявлять к нему подобных чувств. Этим человеком был не кто иной, как Декарт.