Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма

Жермен испугалась за жизнь своего корреспондента, вспомнив пример Архимеда, и написала генералу Пернети, другу ее семьи, попросив его защитить гения. Пернети послал отряд, от которого Гаусс узнал о хлопотах Софи. Тронутый и удивленный, Гаусс написал Жермен, заметив, что из-за глупых предрассудков эпохи женщина вынуждена действительно быть человеком, обладающим "благородной смелостью, необычайным талантом и наивысшей гениальностью", чтобы победить все препятствия.

Итак, любопытство Эйлера было разбужено комментариями Гольдбаха, и швейцарец начал анализировать работы Ферма. Среди прочего он доказал: тот ошибся, утверждая, что числа, известные как "числа Ферма", всегда простые. Также Эйлер изучал Великую теорему Ферма. И хотя он не смог доказать ее для общего случая, ему удалось доказать ее для n = 3. Так что на тот момент, когда Эйлер оставил данную тему, было доказано два случая... или на самом деле бесконечное их число, поскольку если доказать теорему для n = 3, результат также справедлив для всех чисел, кратных 3, то есть для последовательности 6, 9, 12, 15... Так происходит потому, что любая степень, кратная трем, может быть записана в виде числа в кубе. Например, 4⁶ = 16³. Кстати, доказательство самого Ферма для n = 4 справедливо также для чисел, кратных 4.

Если бы мы могли доказать теорему для простых чисел, поскольку любое число кратно простым числам, мы бы доказали ее в целом. Однако, к сожалению, доказательство для п - 5 оказалось гораздо сложнее, чем представлял себе Ферма. В любом случае, тот факт, что Эйлер заинтересовался работами Ферма, вызвал интерес к теории чисел. Благодаря Эйлеру и Карлу Фридриху Гауссу (1777-1855) данная дисциплина превратилась в уважаемую математическую теорию, как этого и хотел Ферма.

Гаусс отзывался о Великой теореме Ферма достаточно презрительно и считал работу над ней потерей времени. Возможно, он и сам пытался решить когда-то эту задачу, но, потерпев неудачу и разочаровавшись, повел себя подобно лисе из басни про лису и виноград. Но другие математики его времени подошли к задаче очень серьезно. Например, Софи Жермен открыла, что для простых чисел, теперь носящих ее имя (числа р, где р — простое число, и Р = 2р + 1 также простое), с учетом некоторых требований, которым должны соответствовать Р и р (в частности, что р не является делителем произведения трех неизвестных — х, y, z — из уравнения Ферма), теорема Ферма верна для n = p. С помощью этого подхода Жермен удалось доказать теорему Ферма для всех простых чисел, меньших 100. К сожалению, ее работа не была опубликована при жизни.

Адриену Мари Лежандру и Густаву Лежёну Дирихле удалось доказать теорему для n = 5. При этом они использовали математические инструменты, которых не существовало в XVII веке, такие как теория квадратичных форм. Доказательство теоремы является относительно простым для n = 3 и n = 4, но оно становится гораздо сложнее начиная с n = 5 и недоступно обычным методам начиная с n = 23.

В любом случае, Софи Жермен была первой, кто попытался найти решение для целого класса чисел, а не для частных случаев; также она открыла новые подходы к решению задачи, которыми продолжали пользоваться в последующие годы.

ЛАМЕ, КОШИ И КУММЕР

В следующие десятилетия были предприняты попытки Габриеля Ламе (1795-1870) и Огюстена Луи Коши (1789-1857) доказать теорему. Ламе удалось найти решение для n = 7, и на бурном заседании Французской академии наук он объявил, что вот-вот докажет ее для общего случая. Он в общих чертах обрисовал свою стратегию, которая основывалась на алгебре комплексных чисел. Но настоящая сенсация произошла, когда Коши, который был одним из самых значительных математиков своего времени, встал и объявил, что он тоже вот-вот получит доказательство и его подход очень похож на метод Ламе.

Так началась гонка между этими двумя учеными, которая была драматично прервана немцем Эрнстом Куммером (181 ΟΙ 893), публично заявившим, что подход Коши и Ламе неверен. Куммер справедливо утверждал, что они оба совершили роковую ошибку, когда предположили, будто комплексные числа, которыми они пользовались, имеют единственное разложение на множители.