Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма

Защелкали фотоаппараты, начались овации, аплодисменты. Одна из самых сложных проблем в мире (она же — одна из самых старых нерешенных задач) в конце концов пала под натиском систематической атаки блестящего математика, который более десятилетия работал один. Но как это возможно? Неужели Уайлс открыл доказательство Ферма? Нет, история намного сложнее. На самом деле аплодисменты были преждевременными: в доказательстве Уайлса содержалась роковая ошибка. Самоизоляция сыграла с ним плохую шутку: поскольку ученый не делился своими достижениями, никто не смог указать ему на это. А в математике только одна ошибка, только один ложный шаг делает непригодным все доказательство: оно разваливается, как карточный домик, из которого убрали лишь одну из карт. Так что сокрушенному Уайлсу пришлось вернуться в кабинет и продолжить работу, чтобы получить неопровержимое доказательство, которое ему наконец удалось опубликовать в 1994 году. Но оставим на некоторое время Уайлса в момент его наивысшей славы.

ПОСЛЕДНЯЯ ТЕОРЕМА

Пора вернуться к Ферма и ознакомиться с его последней теоремой. Вывод, который математик записал на латыни на небольших полях книги, был следующим:

"Невозможно записать куб в виде суммы двух кубов или четвертую степень в виде суммы двух четвертых степеней, и в целом любое число, являющееся степенью больше двух, не может быть записано в виде суммы двух степеней того же уровня".

В современной алгебраической записи эта теорема утверждает, что уравнение хⁿ + уⁿ = zⁿ при n > 2 не имеет натуральных решений; то есть не существует натуральных чисел и которые соответствуют заданному условию: иметь кубическую (или большую) степень, которая была бы суммой двух кубических степеней (или больших того же уровня).

Теорема Ферма применяется исключительно к натуральным числам (тем, с помощью которых мы считаем предметы: 1, 2,3,... и так до бесконечности); хотя в оригинальном высказывании автор не сформулировал данного условия открыто, это понятно из контекста.

Геометрическое представление теоремы Пифагора.

Стоит спросить, почему Ферма говорит только о показателях степени больше двух. Ответ прост. Для случая n = 1 мы имеем тривиальное высказывание: действительно, любое натуральное число, большее единицы, может быть выражено в виде суммы двух других чисел (необязательно различающихся между собой). Если n = 2, мы сталкиваемся с известнейшей теоремой Пифагора (см. рисунок), выраженной в алгебраической форме: x² + у² = z².

У этого уравнения не существует решений для любых натуральных чисел; но все-таки какие-то решения найти можно. Первое из них — это x = 3, у = 4 и z = 5:

3² + 4² = 9 + 16 - 25 = 5².

Другой пример — это х = 5, у = 12 и z = 13; еще один: х = 65, у = 72 и z = 97. Можно доказать, что существует бесконечное количество множеств из трех натуральных чисел, выполняющих данное требование; такие множества известны как пифагоровы тройки.

Итак, Ферма утверждал, что если заменить показатель степени, равный двум, на больший, то не существует тройки натуральных чисел, при которых такое уравнение было бы истинным и которую мы могли бы назвать "тройкой Ферма". При таком определении Последняя теорема Ферма равносильна утверждению, что не существует троек Ферма.

Несложно представить себе, как математик получил этот результат. Он некоторое время анализировал пифагоровы тройки и их свойства. Речь идет о записи квадрата в виде суммы двух квадратов так, чтобы все используемые числа были натуральными. Разумно предположить: поставив перед собой эту проблему, Ферма также задался вопросом, что произойдет, если вместо квадратов использовать кубы, четвертые степени и так далее. В конце концов, одной из самых естественных тенденций для математика является поиск обобщенного результата или, по крайней мере, исследование возможных обобщений.

Понять поставленную задачу довольно просто, и хотя уже половина ее решения заключается в этом понимании, вторая половина, в случае теоремы Ферма, сформулированной в 1637 году, чрезвычайно сложна. Почему? Чтобы попытаться ответить на данный вопрос, нужно совершить "небольшое" путешествие в прошлое, примерно за 2100 лет до Ферма, во времена Пифагора, — не только из-за связей, которые имеются у Великой теоремы с пифагоровыми тройками.

ГРЕКИ

Вернемся к началу времени математики для понимания природы математического доказательства. Пифагор Самосский (ок. 580 — ок. 495 до н.э.) — полулегендарный персонаж. Почти все документы, касающиеся этого ученого, которые дошли до нас, были созданы через несколько веков после его смерти, и поскольку последователи разве что не обожествляли Пифагора, значительная часть сведений о нем — это коллекция мифов. Так же как легенда по имени Гомер положила начало западной литературе, легенда по имени Пифагор основала математику.