Самые знаменитые головоломки мира

11. [Это первая из многих задач на разрезание, включенных в данный сборник. Читателю будет, наверное, небезынтересно узнать, что известный немецкий математик Давид Гильберт впервые доказал теорему, которая утверждает, что любой многоугольник, если его разрезать на конечное число частей, можно превратить в любой другой многоугольник, равновеликий первому. Подобные разрезания, однако, малоинтересны, если число частей не будет достаточно малым, чтобы решение стало элегантным и неожиданным. Почти все правильные многоугольники (за исключением пентаграммы, или пятиконечной звезды, которая доставляет массу трудностей) были использованы в весьма изобретательных головоломках на разрезание.[23] – M. Г.]

12. Среди первых 18 футов каната, измеренных лавочником, каждый ярд (то есть 3 фута) оказался короче своей истинной величины на 3 дюйма; значит, общая недостача на 18 футов составила 18 дюймов, или V/₂фута. В оставшихся 2 футах потерь не было, поскольку для их измерения деревянный ярд использовался не на полную длину (потребовалось только 24 дюйма, а в нем было 33 дюйма). Следовательно, длина полученного моряком каната 81У₂ фута, что при цене 2 цента за фут составляет 1 доллар 63 цента. Лавочник же получил лишь 1 доллар 60 центов (80 футов по 2 цента за фут), да и то фальшивой пятидолларовой монетой (он дал моряку сдачу 3 доллара 40 центов). Таким образом, общая сумма убытка составляет 5 долларов 3 цента. Тот факт, что сосед разменял ему золотую монету, на доходе или убытке не отражается.

13. Смит должен был начать с 99 долларов 98 центов, а осталось у него только 49 долларов 99 центов.

14. Лучший способ решения этой задачи основан на том факте, что площади кругов пропорциональны квадратам их диаметров. Если мы впишем квадрат ABCD в исходный круг и забудем об отверстии в центре, то площадь круга Е, вписанного в этот квадрат, как раз и составит половину исходной площади.

Теперь к кругу Е надо добавить половину площади отверстия. Мы впишем в отверстие квадрат, а затем в этот квадрат впишем новый круг. Площадь меньшего круга, следовательно, составит половину площади отверстия. Поместим теперь маленький круг в G так, чтобы его диаметр стал стороной прямоугольного треугольника, основанием которого служит диаметр круга Е. Гипотенуза HI будет тогда диаметром круга, площадь которого равна сумме площадей круга Е и маленького круга в G. Этот круг, показанный пунктирной линией, и дает искомый размер точильного круга после того, как последний сточится ровно наполовину. Его диаметр можно подсчитать следующим образом.

Диаметр круга Е совпадает с длиной стороны наибольшего квадрата. Зная, что диагональ этого квадрата равна 22 дюймам, мы находим, что его сторона, а значит, и диаметр круга E равны квадратному корню из 242. Аналогичным образом находим, что диаметр наименьшего круга составляет – квадратный корень из 242/49 дюйма.

Квадрат диаметра пунктирного круга равен сумме квадратов двух найденных диаметров, то есть 242 + 242/49 – 12100/49. Извлекая отсюда квадратный корень, мы и находим искомую величину, равную 110/7 – 155/7 дюйма. Таков должен быть диаметр точильного круга, когда его получит второй компаньон.

15. Разумеется, выиграет кошка. Чтобы пробежать все расстояние и вернуться, ей нужно сделать ровно 100 прыжков. Собака, напротив, вынуждена проделать 102 фута и вернуться обратно. На своем 33-м прыжке она достигнет отметки 99 футов, и поэтому ей необходимо сделать еще один прыжок, который приведет ее на 2 фута дальше нужной отметки. Таким образом, чтобы пройти всю дистанцию, собака должна сделать 68 прыжков. Но частота ее прыжков составляет только ²/₃ от частоты прыжков кошки, так что на 100 прыжков кошки приходится лишь неполных 67 прыжков собаки.

Но у Барнума в кармане была возможность сыграть первоапрельскую шутку. Допустим, что кошку (а точнее, кота) зовут Васькой, а собаку – Жучкой! Тогда фразу «она делает 3 прыжка, в то время как ее соперник делает 2» следует понимать так, что собака пробегает расстояние в 9 футов, когда кот пробегает 4 фута. Таким образом, когда собака финиширует, сделав 68 прыжков, кот преодолеет расстояние всего лишь в 90 футов и 8 дюймов.

[Эта же самая головоломка вызвала в Лондоне чувство разочарования, когда Г. Э. Дьюдени опубликовал ее 1 апреля 1900 г. в еженедельнике The Weekly Dispatch. В варианте Дьюдени в беге состязались садовник (женщина) и повар (мужчина). – М. Г.]

16. Ответ приведен на рисунке.

17. На эту задачу нет однозначного ответа, если только вы не знаете, сколько заплатил делец за свой велосипед первоначально. А раз в условии это не сказано, то и решить задачу удовлетворительным образом невозможно.

18. Бак с квадратным дном, ширина которого вдвое меньше глубины, имеет самые экономичные размеры. Если куб со стороной, близкой к 12,6 фута, вмещает 2000 кубических футов, то вдвое меньшая глубина приводит как раз к искомой 1000 кубических футов.