Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

Существует множество иррациональных чисел, начиная с √2 и всевозможных комбинаций корней, например , и заканчивая универсальными константами, например π. Будет логичным спросить: «Сколько всего иррациональных чисел?»

Обозначим множество всех десятичных дробей , иными словами, объединение рациональных и иррациональных чисел:

Мы знаем, что первое из этих множеств  = {рациональные числа} счетно. Кантор доказал, что множество  не является счетным. Следовательно, множество в правой части равенства также не может быть счетным. В противном случае  было бы образовано двумя счетными множествами, следовательно, оно также должно было быть счетным.

Наконец-то мы нашли нечто неисчислимое — множество , элементы которого нельзя сосчитать. Следовательно, это бесконечное множество, бесспорно, больше всех бесконечных множеств, о которых мы говорили до этого.

Множество  известно как множество вещественных чисел.

В простейшей теории множеств, которую сегодня изучают в школах, вышеизложенное обычно изображают с помощью диаграмм:

Множества ,  и , содержащиеся в , являются счетными, в то время как  таковым не является. Можно сказать, пусть и немного неточно, что почти все числа являются иррациональными, за исключением рациональных, образующих меньшую бесконечность, которая является счетной. Число π является иррациональным, что доказал Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777) в 1760-е годы. Следовательно, оно принадлежит к несчетному большинству, куда также входят почти все десятичные дроби. С этой точки зрения π не является каким-то необычным. Кроме того, что оно иррационально, оно также является вещественным, как почти все остальные числа.

Алгебраические и трансцендентные числа

Ранее мы говорили об алгебраических числах. Вспомним, что

1) алгебраическими числами называются числа, которые являются корнями уравнения

а_nхⁿ + а_n-1х^n-1 +… + а₁х + а₀ = 0,

где а_n, а_n-1…., а₁, a₀ — рациональные числа;

2) алгебраические числа образуют счетное бесконечное множество.

Почему мы снова вспомнили о них? Причина в том, что во всех геометрических построениях используются лишь циркуль и линейка, причем конечное число раз.

Таковы своеобразные «правила игры», и таким достаточно простым способом строятся ничем не примечательные отрезки.

Тот факт, что древние греки использовали для построений только циркуль и линейку, привел к появлению особых отрезков (и, как следствие, чисел), которые, в отличие от остальных, можно построить (иногда их называют построимыми числами). Возьмем в качестве примера обычное число √2. Это число можно построить с помощью циркуля и линейки, как показано на рисунке:

Это первое иррациональное число, с которым встретились древние греки. Именно это число дало название иррациональным числам. Это число также является алгебраическим и его можно построить. Как мы уже говорили, √2 является корнем уравнения второй степени х² — 2 = 0.

Все числа, которые можно построить, являются алгебраическими. Рассмотрим, почему это так. Если говорить о построениях с помощью циркуля и линейки, то максимум, что мы можем построить, — это числа вида

x₁ = a₀ + b₀√x₀,

где a₀, b₀ и x₀ — рациональные. Опустим доказательство этого утверждения: оно несложное, но очень громоздкое. Число является алгебраическим, так как является решением квадратного уравнения с рациональными коэффициентами, а именно

х² — 2а₀х + а₀² — Ь₀²х₀ = 0.

Это уравнение с рациональными коэффициентами: числа 1, -2a₀ и -Ь²х₀ принадлежат . Все числа, подобные x₀, образуют так называемое поле, обозначаемое К₀ и удовлетворяющее условию

Иными словами,  является подмножеством K₀.  и K₀ образованы построимыми числами, но содержат только алгебраические числа. K₀ больше, чем , и включает его. Все числа K₀ являются алгебраическими, некоторые из них рациональные (те, что принадлежат ), другие — нет (те, что принадлежат K₀ и не принадлежат ).

Выберем для построения

x₂ = a₁ + b₁√x₁,

где a₁, b₁ и x₁ принадлежат K₀, и тем самым образуем еще большее поле:

также образованное алгебраическими числами, которые можно построить. Очевидно, что можно сформировать любое количество полей К_n:

В целом геометрические фигуры, в которых содержатся эти числа, описываются уравнениями второй степени (квадратными уравнениями). Они могут существенно различаться, но результатом построений все равно будут алгебраические числа.

Благодаря так называемой аналитической геометрии, изобретенной Рене Декартом в XVII веке, любое геометрическое построение можно описать уравнением второй степени. Сложное построение может описываться цепочкой уравнений второй степени, вложенных друг в друга.

Но сколь бы велика ни была эта цепочка, результатом всегда будет число, которое можно построить. Это число будет являться решением уравнения второй степени с коэффициентами, которые также можно построить, и, следовательно, будет являться алгебраическим. Используя геометрические построения, мы никогда не сможем выйти за пределы множества алгебраических чисел. Любое число, которое можно построить, является алгебраическим.