Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

ДИАГОНАЛЬНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Рассуждения Кантора, которые лежат в основе доказательства счетности множества десятичных дробей (то есть ), останутся в истории как доказательство его гениальности. Они оригинальны, но в то же время понятны. Это доказательство приобрело такую известность, что получило собственное название: диагональный метод, метод диагонализации, или диагональное доказательство. Посмотрим, почему это доказательство называется «диагональным».

Мы выполним действия, которые в математике именуются «сведением к абсурду», когда некая гипотеза предполагается истинной, а затем показывается, что из нее вытекает абсурдное заключение. Это означает, что исходная гипотеза ложна. Предположим (ниже мы докажем ложность этого утверждения), что множество десятичных дробей (т. е. вещественных чисел) является счетным. Будем говорить о счетности не всего множества , а лишь десятичных дробей, лежащих на интервале (0; 1), то есть удовлетворяющих условию 0 < х < 1, - лишь малой части . Предположим, что десятичные дроби пронумерованы и перечислены друг под другом, не обязательно по порядку, так, как показано ниже:

В этом списке должны фигурировать все десятичные дроби, заключенные в промежутке между 0 и 1, так, чтобы нельзя было записать никакую десятичную дробь л, которая бы не содержалась в этом списке. Кантор, основываясь на этом утверждении, создал новую десятичную дробь D

D = 0, d₁ d₂ d₃ d₄ d₅… d_n…,

которой не было в списке. Для каждого n он определил d_n, отличное от того, которое находится в строке n и столбце n.

d отличается от десятичной дроби, которая соответствует числу 1? Да, поскольку d отличается от этой дроби в первом знаке после запятой.

d отличается от десятичной дроби, которая соответствует следующему числу в списке? Да, поскольку d отличается от второй дроби во втором знаке после запятой.

d отличается от десятичной дроби, которая соответствует третьему числу в списке? Да, поскольку d отличается от третьей дроби во третьем знаке после запятой.

Это же верно и для четвертой, пятой и n-й дробей:

d_n не равно r_n

D отличается от всех десятичных дробей в списке, следовательно, оно не содержится в этом списке. Но разве мы не говорили, что в этом списке содержатся все десятичные дроби? Имеется противоречие с исходным утверждением, которое гласит, что все десятичные дроби пронумерованы и перечислены в списке. В действительности это не так. Это доказывает, что множество всех десятичных дробей не является счетным.

|| > ||

* * *