Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

Как же мы определим ноль? Когда говорят, что множество содержит 0 элементов? В «наивной» теории множеств множество является совокупностью объектов. Поэтому логично, что среди таких совокупностей встречаются пустые, которые не содержат ничего — как пустые коробки.

Не стоит путать пустое множество и ничто — метафизический объект, больше подходящий для философских споров. Пустое множество — это как раз то, внутри чего находится ничто. Это множество, которое не содержит элементов, но это не «ничто».

Для обозначения подобного множества (оно единственно, так как все пустые множества равны), французский математик Андре Вейль (1906–1998) предложил использовать датскую букву . Вайль был прекрасно знаком с алфавитами скандинавских языков, поскольку во время Второй мировой войны находился в заключении в Финляндии.

Будем обозначать символом пустое множество, которое не содержит элементов. Его можно определить многими способами, от забавных до вовсе абсурдных, например

 = {летающие коровы}.

Обозначим ноль так:

0 =

и будем говорить, что множество содержит 0 элементов, если между ним и множеством  можно установить взаимно однозначное соответствие.

Для обозначения числа элементов множества А используется следующее выражение: |А|. Также число элементов множества называется его кардинальным числом. Таким образом,

число элементов А = кардинальное число А = |А|.

В целом различают конечные и бесконечные множества, и понятие «число элементов» используется для конечных множеств. Так, конечное множество может иметь 6241 или 123456789012 элементов.

Конечные множества имеют одну особенность: их кардинальное число больше, чем кардинальное число любой из частей множества. Например, если А содержит 7 элементов, любая часть А имеет меньше 7 элементов. Если

А = {гномы из сказки про Белоснежку},

то |A| = 7. Любое подмножество или подгруппа гномов В будет удовлетворять условию |B| < |A| и будет содержать меньше 7 гномов. Эта особенность, которая может показаться тривиальной, на самом деле отличает конечные и бесконечные множества: часть бесконечного множества и само множество целиком могут иметь одинаковые кардинальные числа. Как бы удивительно это ни было, существуют объекты, часть которых содержит столько же элементов, что и целое.

ГОСТИНИЦА С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ НОМЕРОВ

В качестве примера многие математики приводят парадокс гостиницы с бесконечным числом номеров, придуманный немецким математиком Давидом Гильбертом. Он формулируется так. Есть гостиница, владельца которой не пугает толпа народа. Все номера гостиницы пронумерованы от 1 и далее в порядке возрастания. В сезон отпусков гостиница оказалась полностью заполнена, к радости ее владельца. Однако внезапно китайский туроператор прислал срочное сообщение: на следующий день должно приехать множество китайских путешественников. Для всех них нужно найти номера, но никого из уже заселившихся постояльцев выселять нельзя. Владелец отеля прекрасно знает математику и без труда нашел решение. Он попросил всех постояльцев переехать в комнату, номер которой в два раза больше, чем номер прежней комнаты, как показано на рисунке.

В гостинице снова появилось бесконечное число комнат, и всем новоприбывшим путешественникам хватило мест. Счастливый владелец гостиницы с бесконечным числом номеров продолжает работу благодаря своим знаниям о бесконечности.

* * *

Рассмотрим простейший пример бесконечности, образуемой всеми целыми положительными числами, так называемыми натуральными:

 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}.

Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой .

Мы с удивлением обнаружим, что часть N, множество четных чисел, соответствует самому :

Поэтому

|{четные числа}| = ||.

Часть чего-либо бесконечного также может быть бесконечной и иметь то же кардинальное число.

Натуральные, рациональные и алгебраические числа