Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

На самом деле де Ланьи вычислил 127 знаков, но лишь 112 из них были верными, что подтвердил Георг Вега (1754–1802). Этот немецкий математик к концу жизни был удостоен высокого титула барона в Австрийской империи, что не спасло его от судьбы простолюдина: он был убит неким вором из-за денег и часов. В 1794 году Вега использовал одну из формул Мэчина, которую вывел Эйлер, чтобы вычислить 137 знаков π, на этот раз без ошибок. Он использовал следующую формулу:

π/4 = 5∙arctg (1/7) + 2∙arctg (3/79).

Банкнота в 50 словенских толаров, на которой изображен Гэорг Вега, а также геометрические построения и фазы Луны. На обороте слева от изображения Солнечной системы можно увидеть фасад Словенской академии наук в Любляне.

Между 1760 и 1800 годами параллельно были получены заслуживающие упоминания результаты. Так, Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777), создатель неевклидовой геометрии, в 1761 или 1767 году (точная дата неизвестна) доказал иррациональность числа π. Адриен Мари Лежандр (1752–1833) несколькими годами позже показал, что π² также иррационально. Возможно, наиболее значимым является достижение великого Леонарда Эйлера (1707–1783), который искал многочисленные ряды для вычисления π и предположил, что число π является трансцендентным. Гипотеза Эйлера тем примечательнее, что само существование трансцендентных чисел доказал Жозеф Лиувилль (1809–1882) лишь много лет спустя, в 1840 году! Лиувилль также нашел первое трансцендентное число.

ИОГАНН ГЕНРИХ ЛАМБЕРТ (1728–1777)

Этот немецкий математик, астроном и врач изобрел гигрометр и фотометр. Он также первым доказал иррациональность числа тс, но этим его вклад в математику не ограничивается. Он изучал гиперболические функции и связал их с неевклидовой геометрией. Также он внес заметный вклад в картографию, и его имя носит одна из географических проекций. Ламберт был самоучкой, но когда речь заходила о признании его собственных заслуг, скромность покидала его. Фридрих II, сделав математика членом Прусской академии наук, спросил Ламберта, в каких же науках он преуспел. «Во всех», — последовал ответ, близкий к истине. Король с иронией заметил: «Значит, вы разбираетесь и в математике?» — «И в ней тоже», — честно ответил Ламберт. Несколько раздосадованный, Фридрих II продолжил: «И кто же был вашим учителем?» — «Я сам, Ваше Величество!» — и снова Ламберт не погрешил против истины. Король иронично сказал: «Ну и ну! Я стою перед вторым Паскалем!» — «По меньшей мере», — был ответ. Его доказательство иррациональности числа тс достаточно изобретательно и доступно для понимания. С помощью цепных дробей Ламберт показал (это наиболее сложная часть его доказательства), что если х — ненулевое рациональное число, то tg х иррационально. Так как tg π/4 = 1, а единица является рациональным числом, следовательно, π/4 и π являются иррациональными.

* * *

Говоря о вычислении π, мы специально не упоминаем об Эйлере, так как он никогда не добивался рекордной точности вычислений. Вероятно, это случилось лишь потому, что он не уделял этому достаточно внимания: как-то раз, используя формулы Мэчина, он вычислил 20 знаков π всего за час!

В 1841 году Уильям Резерфорд (1798–1871) использовал формулу Мэчина

π/4 = 4∙arctg (1/5) — arctg (1/79) + arctg (1/99).

и получил 208 знаков π, из которых 152 были верными. В 1853 году он вернулся к этой задаче и с помощью формулы Мэчина установил новый рекорд — 440 знаков.