Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

и получил ряд, который на современном языке математики записывается так:

что в 1699 году позволило ему правильно вычислить 71 знак π. На самом деле Шарп рассчитал 72 знака, но ошибся в последнем. Это простительно, если учесть, что для этого пришлось сложить около 300 членов указанного ряда.

Заметим также, что в 1667 году Джеймс Грегори попытался доказать, что задача о квадратуре круга не имеет решения, но потерпел неудачу.

Несколько лет спустя, в 1706 году, Джон Мэчин (ок. 1686–1751), преподаватель астрономии, позднее ставший секретарем Лондонского королевского общества, вывел формулу, носящую теперь его имя:

π/4 = 4∙arctg (1/5) — arctg (1/239)

* * *

ДЖЕЙМС ГРЕГОРИ (1638–1675)

Не следует пугать Джеймса Грегори с его племянником Дэвидом Грегори (1659–1708), который также был математиком, дружил с Ньютоном и был одним из тех, кто ввел в употребление символ π, Джеймс Грегори известен в астрономии как изобретатель телескопа-рефлектора, а также благодаря разложению в бесконечные ряды тригонометрических функций (sin x, cos x, tg x) и обратных тригонометрических функций (arcsin х, arccos x и arctg x). Ряд, который был открыт также и Мадхавой из Сангамаграма и носит имя Мадхавы-Лейбница или Грегори-Лейбница, может быть записан в следующем виде:

Этот ряд сходится на интервале от — π/4 до π/4. Грегори одним из первых понял, что задача о квадратуре круга нерешаема.

Чтобы получить эту формулу, он выполнил следующие действия:

tg α = 1/5,

tg 2α = 2∙tg α/(1 — tg² α) = 5/12,

tg 4α = 2∙tg 2α/(1 — tg² 2α) = 120/119,

tg (4α — π/4) = (tg 4α — 1)/(1 + tg 4α) = 1/239.

Отсюда следует искомое равенство, так как

4α — π/4 = arctg tg (4α — π/4) = arctg 1/239.

Ha основе этой формулы вкупе с известными выражениями, например

arctg (x) = x — (x³/3) + (x⁵/5) — …

выводятся быстро сходящиеся ряды, с помощью которых Мэчин рассчитал π до сотого знака. Вне всякого сомнения, большой заслугой Мэчина является полученная им формула, записываемая в тригонометрическом виде, которую можно быстро преобразовать в ряд. Далее, когда мы будем рассказывать о Захариусе Дазе, то упомянем еще один любопытный факт, имеющий отношение к Мэчину.

Формулы, подобные той, что вывел Мэчин (так называемые формулы Мэчина), очень распространены, их изучением занимались многие исследователи независимо друг от друга. Мэчин стал первым среди них.

В девятом томе первого издания Французской энциклопедии, созданной силами Дени Дидро, упоминается Том Фанте де Ланьи (1660–1734), преподаватель гидрографии и математики, чей некролог редактировал сам Фонтенель. В 1719 году де Ланьи вычислил (сущая безделица!) 112 знаков π, использовав тот же степенной ряд, что и Шарп.

ЗАДАЧА, ПЕРЕД КОТОРОЙ НЕЛЬЗЯ УСТОЯТЬ

Математик Том Фанте де Ланьи (1660–1734), родившийся во французском городе Лионе; занял свое, пусть скромное, место в истории благодаря тому, что первым верно вычислил 112 знаков числа π — абсолютный мировой рекорд в то время. С ним также связан занимательный эпизод, произошедший незадолго до его смерти. Рассказывают, что его коллега Мопертюи пришел навестить его на смертном одре и обнаружил тело без признаков жизни. Чтобы удостовериться в этом, Мопертюи еле слышно прошептал: «Сколько будет 12 в квадрате?», предполагая, что ни один математик не устоит перед подобной задачей. Де Ланьи вскочил, громко воскликнул: *144!* — и умер.

* * *