Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

Подробная история индо-арабских цифр выходит за рамки нашего повествования. Отметим лишь, что свое название они получили по месту происхождения. Удивительно, но на Западе эти цифры и система счисления в целом появились лишь в X веке в «Книге Абака» Леонардо Пизанского (ок. 1170–1250), также известного как Фибоначчи. Индо-арабские цифры распространились в Европе с быстротой молнии, особенно среди торговцев и образованных людей. Расчеты в новой системе счисления перестали быть такими проблематичными благодаря простым правилам умножения и деления. Цивилизация сделала медленный, но важный шаг вперед.

На середине нашего повествования мы впервые встречаем имя Фибоначчи, который в 1220 году вычислил приближенное значение π = 3,141818 в одной из своих работ «Практика геометрии» (Practica geometriae), несколько вольно применив метод Архимеда.

Но не будем забегать вперед. Обратим внимание на фигуру Мухаммеда ибн Муса аль-Хорезми (ок. 780–850 гг.), также называемого аль-Хорезми. От видоизмененного имени аль-Хорезми берет начало термин «алгоритм». Аль-Хорезми является автором «Книги о восполнении и противопоставлении», от арабского названия которой происходит слово «алгебра». Его труды, переведенные на Западе, имели огромнейшее влияние. Аль-Хорезми также рекомендовал использовать значение 3,14 в простых расчетах и 3,1416 — в сложных, например, в астрономии.

Героический образ аль-Хорезми, запечатленный на советской марке 1983 года (аль-Хорезми жил на территории современного Узбекистана).

В 1424 году другой персидский ученый Джамшид ал-Каши (1380–1429) из Самарканда рассчитал значение 2π с точностью до 9 знаков, используя шестидесятиричную систему счисления (в ней числа записываются следующим образом: 1/60 = 0,1; 1/60² = 1/360 = 0,01 и т. д.). После перевода в десятичную систему счисления это соответствует точности в 16 знаков после запятой. Ал-Каши вычислил:

2π = 6 + 16/60 + 59/60² + 28/60³ + 1/60⁴ + 34/60⁵ + 51/60⁶ + 46/60⁷ + 14/60⁸ + 50/60⁹ + …,

используя многоугольники с числом сторон 3∙2²⁸. За четверть века до него, в 1400 году, индийский математик Мадхава из Сангамаграма (ок. 1350 — ок. 1425) вычислил π с точностью до 13 знаков. Кроме того, расчеты Мадхавы отличаются оригинальностью: в них впервые используется бесконечный ряд для оценки значения π. Формула Мадхавы позднее стала известна в западном мире как «ряд Лейбница», но Мадхава открыл ее намного раньше:

π/4 = 1–1/3 + 1/5 — 1/7 + 1/9 — …

Этот ряд сходится очень медленно. Чтобы получить более или менее приемлемый результат, необходимо сложить тысячи членов ряда. Мадхава использовал этот ряд в преобразованном виде:

π = √12∙[1 — (1/3∙3) + (1/5∙3²) — (1/7∙3³) +…]

что и помогло ему вычислить π.

Немецкий ученый Валентин Отто (ок. 1550–1603), ярый последователь Коперника, в 1573 году рекомендовал использовать π = 355/113 ~ 3,1415929… Однако это не идет ни в какое сравнение с результатами, полученными спустя некоторое время с помощью передовых способов вычисления, а не просто путем аккуратно проведенных расчетов. Французский математик Франсуа Виет вычислил девятый знак числа π обычным способом, используя метод Архимеда и многоугольник с 393216 (6∙2¹⁶) сторонами. Хотя ему и удалось вывести важную формулу, связанную с π, он не смог применить ее из-за сложных вычислений: его формула включает вычисление квадратного корня из квадратного корня числа. На современном языке математики формула Виета записывается следующим образом:

Вывод этой и других формул подробно объясняется в главе 4.