Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера

В результате, выше определено понятие симметричных пар и их шаг симметрии, которые представляют особый интерес исследования настоящей работы.

2. Исследование множеств симметричных пар

Рассмотрим множество C симметричных пар числа n, такое что,

C = {a_n,…a_i,…a₃, a₂, a₁, b₁, b₂, b₃,… b_i…b_n }, (2.1)

где a_i, b_i. – симметричные пары, удовлетворяющие свойствам 1) – 8).

Для примера рассмотрим число 10. Тогда множество C симметричных пар числа 10 будет C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

Представим множество симметричных пар C в виде двух других множеств A и B, которые состоят из множества

A = {a₁, a₂, a₃,…a_n } и множества B = {b₁, b₂, b₃,…b_n }. (2.2)

Очевидно C = A U B.

Для нашего примера эти множества будут

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.

Парные элементы приведенных множеств также удовлетворяют свойствам 1) – 8). Очевидно, что мощности обоих множеств |A| и |B| одинаковы и равны n.

Следует заметить, что эти множества взаимосвязаны, при чем, элементы в указанных множествах имеют взаимно однозначное соответствие одного множества к другому, и они в совокупности составляют симметричные пары (a_i, b_i).

Действительно, имеем a₁ = n–1, a₂ = n – 2, a₃ = n – 3, …a_i = n – i, …….. a_n-3 = 3, a_n-2 = 2, a_n-1 = 1, a_n = 0, и b₁ = n + 1, b₂ = n + 2, b₃ = n + 3, …….. b_i = n + i,……. b_n-1 = n + n – 1, b_n = n + n, то есть, такое взаимное соответствие можно выразить следующей зависимостью

a_i = n – i, b_i = n + i, (2.3)

где i = 1,2,3, …….n.

Следовательно, для симметричных пар выражение (1.5) поэлементного соответствия будет выглядеть

a_i + b_i = 2n и b_i – a_i= 2i, (2.4)

где i = 1,2,3, …….n.

Отсюда видим, что шаг симметрии равен номеру симметричной пары, т.е. δ=i.

Анализируя выражения (2.3) и (2.4), можно видеть, что множества A и B в свою очередь состоят из подмножеств нечетных и четных чисел, т.е. можно записать

A = nch_A U ch_A;

B = nch_B U ch_B, (2.5)

где nch_A и ch_A – подмножества нечетных и четных чисел множества A;

nch_B и ch_B – подмножества нечетных и четных чисел множества B.

Для указанного выше примера, имеем

nch_A= {1, 3, 5, 7, 9} и ch_A= {0, 2, 4, 6, 8}.

nch_B= {11, 13, 15, 17, 19} и ch_B= {12, 14, 16, 18, 20}.

Очевидно, и это не требует доказательств, что мощности подмножеств |nch_A| и |ch_A| одинаковы, т.е. равны. Также можно сказать и о подмножествах |nch_B| и |ch_B|, мощности которых также равны между собой.

Легко видеть, что мощности четных подмножеств |ch_A| и |ch_B| равны друг другу, и мощности для нечетных подмножеств |nch_A| и |nch_B| также равны друг другу, при этом само число n, являющееся центром симметрии, и ни в какие множества не входит.

Таким образом, можно записать следующие тождества:

|ch_A| = |ch_B|;

|nch_A| = |nch_B|;

|ch_A| = |nch_A|;

|ch_B| = |nch_B|; (2.6)

|ch_A| = |nch_B|;

|ch_B| = |nch_A|;

|nch_A| = |ch_B|;

|nch_B| = |ch_A|.

Отметим и то, что симметричная пара может состоять либо только из нечетных чисел, либо только из четных чисел, но ни как по-другому, т.е. пара (a_i,b_i) не может иметь одновременно разную чётность. Этот очевидный факт является очень важным и в дальнейшем будет использован. Чтобы увидеть правильность сказанного, следует внимательно посмотреть на выражения (2.4), так как в правых их частях стоят четные числа, и, следовательно, суммы левых частей должны быть также четными, что возможно только тогда, когда два слагаемых в левых частях будут одновременно нечетными или четными.

Докажем следующую небольшую лемму.

Лемма 2. Любое четное число может быть однозначно отнесено к натуральному числу вдвое меньшему данного четного числа.

Доказательство. Действительно, так как четное число n выражается формулой ch=2n, то разделив его на двойку, получим утверждаемое натуральное число, что и доказывает высказанное утверждение.

Рассмотренные выше соображения позволяют сформулировать следующее важное утверждение или теорему.

Теорема 1. Любое число n представимо суммой чисел любой симметричной пары, отнесенной к числу 2n, вдвое меньшему данному числу, т.е. равной удвоенному значению числа n, находящемуся на середине отрезка числовой оси [0;2n].

Доказательство. Действительно, согласно выражению (2.3) на числовой оси [0;2n] можно составить n симметричных пар (a_i,b_i) таких, что a_i + b_i = 2n. Таким образом, утверждение теоремы 1 доказано.

Из сформулированной выше теоремы следует две леммы, доказательства которых очевидны.