Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера

Лемма 3. Любое четное число 2n представимо суммой симметричных пар четных или нечетных чисел, количество которых равно n.

Доказательство указанного утверждения фактически приведено выше.

Из рассмотренного выше исследования симметричных пар чисел нас интересует класс нечетных симметричных пар чисел, среди которых класс симметричных простых чисел.

3. Симметричные пары простых чисел

Рассмотрим в первую очередь интересный класс симметричных пар чисел из множества нечетных чисел.

В предыдущем разделе было показано, что числа симметричной пары всегда имеют одинаковую четность, т.е. состоят либо из двух нечетных чисел, либо из двух четных чисел.

Исследуем подмножества симметричных пар нечетных чисел, сумма которых, конечно, является четным числом.

Как было показано в предыдущем разделе, оба подмножества нечетных чисел nch_A множества A и nch_B множества B имеют однозначное соответствие и, следовательно, имеют одинаковые мощности или то же самое равное количество элементов.

Выделим в каждом из них еще по два подмножества, а именно:

Подмножество составных нечетных чисел S и подмножество простых чисел P, которые запишем следующими выражениями

nch_A = S_A U P_A;

nch_B = S_B U P_B, (3.1)

где S_A, S_B – подмножества составных нечетных чисел симметричных пар из множеств A и B соответственно;

P_A, P_B – подмножества простых чисел симметричных пар из множеств A и B соответственно.

Так в примере, приведенном выше

S_A= {9}, а P_A= {1, 3, 5, 7}

S_B = {15} и P_B = {11, 13, 17, 19}.

Исследуем вопрос, как будут соотноситься элементы указанных подмножеств, при формировании симметричных пар конкретного числа n.

Анализ рис. 2 показывает, что при формировании симметричных пар числа n будут участвовать как составные нечетные, так и простые числа. Из (2.6) имеем, что мощность |nch_A| подмножества элементов нечетных чисел nch_A множества A будет равна мощности |nch_B| подмножества нечетных nch_B множества B, т.е. имеем

|nch_A| =|nch_B|. (3.2)

Тогда, исходя из того же выражения (2.6) можно записать

|nch_A| =|S_A| + |P_A| = |nch_B| =|S_B| + |P_B|. (3.3)

Отсюда следует важное следующее равенство

|S_A| + |P_A| = |S_B| + |P_B|. (3.4)

Следовательно, правомерно записать и такое соответствие

S_A U P_A<=>S_B U P_B. (3.5)

Это значит, что объединение подмножеств S_A и P_A однозначно соответствуют объединению подмножеств S_B и P_B.

Далее рассмотрим пример для числа n=16. Построим числовой отрезок [0,32] (см. рис. 2).

____________________________________________________________________________

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

a₁nb₁

Рис. 2

Запишем подмножество nch_A. Оно будет

nch_A ={15;13;11;9;7;5;3;1}.

Далее, подмножество nch_B будет состоять из следующих элементов

nch_B ={17;19;21;23;25;27;29;31}.

Мощности построенных подмножеств равны 8, т. е. |nch_A| = |nch_B| =8.

Выберем в каждом из них нечетные составные и простые числа.

Получим

S_A = {15;9}, P_A = {13;11;7;5;3;1}, при чем, |S_A| =2, а |P_A| =6.

Аналогично

S_B = {21;25;27}, P_B = {17;19;23;29;31}, при чем, |S_B| =3, а |P_B| =5.

Построим таблицу соответствия подмножеств nch_A и nch_B для данного примера, а фактически таблицу симметричных пар

Таблица 2

nch_A

15

13

11

9

7

5

3

1

nch_B

17

19

21

23

25

27

29

31

δ

1

2

3

4

5

6

7

8

Теперь построим таблицу соответствия нечетных составных и простых чисел

Таблица 3

nch_A

15

13

11

9

7

5

3

1

S_A

15

9

P_A

13

11

7

5

3

1

nch_B

17

19

21

23

25

27

29

31

S_B

21

25

27

P_B

17

19

23

29

31

δ

1

2

3

4

5

6

7

8

Анализ таблицы 2 и 3 показывает, что при δ=2,7,8 симметричными парами чисел являются исключительно простые числа (в таблице подчеркнуты одной чертой), т.е. (1, 31), (3, 29), (13, 19).

Далее, рассмотрим случай числа n=32.

Подмножество нечетных чисел множества А и его мощность составляют

nch_A ={31;29;27;25;23;21;19;17;15;13;11;9;7;5;3;1}, |nch_A| =16.

Подмножество составных нечетных чисел и его мощность составляет

S_A ={27;25;21;15;9}, |S_A| =5.

Подмножество простых чисел и его мощность составляет

P_A={31;29;23;19;17;13;11;7;5;3;1}, |P_A| =11.

Соответственно для подмножества В

nch_В ={33;35;37;39;41;43;45;47;49;51;53;55;57;59;61;63}, |nch_В| =16, а также подмножества составных нечетных и простых чисел.

Соответственно,

S_В ={33;35;39;45;49;51;55;57;63}, |S_В| =9,

P_В ={37;41;43;47;53;59;61}, |P_В| =7.

Таблица симметричных пар тогда будет

Таблица 4

nch_A

31

29

27

25

23

21

19

17

15

13

11

9

7

5

3

1

S_A

27

25

21

15

9

P_A

31

29

23

19

17

13

11

7

5

3

1

nch_В

33

35

37

39

41

43