Читаем Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера полностью

Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера

S_В

P_В

Из таблицы 4 видно, что симметричными простыми парами в этом примере будут пары при δ=5,8,14,15 (в таблице подчеркнуты одной чертой), т.е. пары (3, 61), (5, 59), (17, 47), (23, 41). Здесь же видим, что нечетные симметричные пары могут состоять также только из нечетных составных чисел δ=4,9,12 (в таблице подчеркнуты двойной чертой) (9, 55), (15, 49), (25, 39).

Следовательно, напрашивается вывод о том, что нечетные симметричные пары числа n могут состоять из:

1) нечетных составных и простых чисел (смешанные пары);

2) только нечетных составных чисел;

3) только простых чисел.

Дальнейший анализ числового ряда и составляющих симметричных пар с помощью подобных таблиц показывает, что при n→∞ можно составить такие неравенства

|S_A|< |S_В|, (3.6)

и соответственно

|P_A| > |P_В|. (3.7)

Оценку приведенных неравенств можно получить из следующих соображений.

Согласно оценке П.Л. Чебышева [2], уточняющую оценку Лагранжа [3], для больших значений n, число простых чисел в натуральном ряде достаточно точно оценивается следующим выражением

π(n) = n/ln(n), (3.8)

где ln – натуральный логарифм.

Тогда для числа 2n количество простых чисел будет равно

π(2n) = 2n/ln(2n). (3.9)

Используя выражения (3.8) и (3.9) можно записать

|P_A|=π(n), а (3.10)

|P_B|=π(2n) – π(n). (3.11)

Для того чтобы определить справедливость неравенства |P_A| > |P_В| исследуем разность

|P_A| – |P_В| = π(n) – π(2n) + π(n) = 2π(n) – π(2n). (3.12)

Далее раскрывая (3.12) с учетом (3.8) и (3.9), имеем

2n/ln(n) – 2n/ln(2n) = 2n(1/ln(n) –1/ln(2n)). (3.13)

Так как ln(2n) = ln2 + ln(n), то очевидно, что в выражении (3.13)

ln(2n) > ln(n). (3.14)

Учитывая полученное неравенство (3.14) имеем

1/ln(n) > 1/ln(2n). (3.15)

Отсюда получаем положительную следующую разницу

|P_A| – |P_B| > 0, (3.16)

что доказывает справедливость утверждения (3.7).

Исходя из (3.3) и (3.4) легко получается следующее равенство

|S_B| – |S_A| = |P_A| – |P_B|. (3.17)

Тогда с учетом (3.16) получаем

|S_B| – |S_A| > 0, (3.18)

что доказывает справедливость утверждения (3.6).

Теперь же особый интерес представляет способ формирования симметричных простых пар.

4. Таблица симметричных простых пар чисел

Для более глубокого понимания механизма образования симметричных простых пар чисел построим следующую таблицу.

В таблице в первой строке и первом столбце P₁ обозначения простых чисел, стоящих во второй строке и втором столбце по порядку. А во второй строке и втором столбце стоят сами простые числа по порядку. На пересечении столбца и строки в таблице находится число 2n, по которому образуется симметричная простая пара. Очевидно, что таблица симметрична относительно диагонали.

Таблица 5

d_p1 1 1 2 1 2 1 2 3 1 3 2 1 2 3 3 1

P₁

P₂

P₃

P₄

P₅

P₆

P₇

P₈

P₉

P₁₀

P₁₁

P₁₂

P₁₃

P₁₄

P₁₅

P₁₆

P₁₇

P₁₈

P₁

P₂

P₃

P₄

P₅

P₆

P₇

P₈

P₉

P₁₀

P₁₁

P₁₂

P₁₃

P₁₄

P₁₅

P₁₆

P₁₇

P₁₈

где P_i – простые числа, образующие симметричные пары;

d_p – разница соседних простых чисел P_i₊₁ – P_i по строке или по столбцу.

Выделим основные свойства построенной таблицы 5:

во-первых, для любого числа 2n по таблице можно составить симметричные пары простых чисел; а

во-вторых, для любой пары симметричных простых чисел можно найти соответствующие им числа n и соответствующее ему четное число 2n.

Пользоваться таблицей очень просто.

Для этого берем любое четное число 2n и в таблице находим соответствующее ему число n. Затем, двигаясь по горизонтальной строке и вертикальному столбцу, выбирается симметричная пара простых чисел.

Например, для четного числа 44, путем деления его на число 2 получаем число n равное 22. Затем по таблице выбираем ячейку с данным числом и пары симметричных простых чисел, соответствующих этому числу путем мысленного движения вверх по столбцу и влево по строке. Для числа 22 таких пар оказалось четыре. В результате имеем пары: (13,31); (7,37); (3,41); (1,43).

Перейти на страницу: