Симпсоны и их математические секреты

Присутствующие в «Футураме» ссылки на числа такси можно связать с Кеном Килером, которого считают одним из самых математически одаренных сценаристов как «Симпсонов», так и «Футурамы». По словами самого Килера, его увлеченность математикой сформировалась под влиянием отца, Мартина Килера – врача, любившего играть с числами. Каждый раз, когда они всей семьей ходили в ресторан и получали счет в конце ужина, отец искал в этом чеке простые числа и предлагал детям присоединиться к поискам. Кен Килер помнит, как когда-то он спросил отца, существует ли быстрый способ сложения квадратов целых чисел. Например, чему равна сумма квадратов первых пяти чисел, или первых десяти чисел, или первых n чисел? Доктор Килер подумал немного, а затем дал совершенно правильный ответ в виде формулы: n³/3 + n²/2 + n/6. Формулу доктора Килера можно проверить с помощью примера, скажем, когда n = 5:

Сумма квадратов первых пяти чисел: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55.

Формула доктора Килера:

Для математика это не особо трудная задача, но не забывайте, что доктор Килер таковым не был. Кроме того, он решил ее с помощью оригинального и в высшей степени интуитивного подхода, короткое формальное объяснение которого, сформулированное Кеном Килером, представлено в Приложении 3.

Именно увлеченность отца математикой стала одной из причин, побудивших Кена Килера изучать прикладную математику в университете, а затем получить по этому предмету докторскую степень. Однако потом для него настали трудные времена, подталкивающие сделать выбор: Кен буквально разрывался между научной карьерой и попытками попробовать свои силы в написании комедий – еще одной области, которой он увлекался. Хотя Килер получил престижную работу в AT&T Bell Labs в Нью-Джерси, еще раньше он отправил резюме продюсерам шоу Late Night with David Letterman («Позднее шоу с Дэвидом Латтерманом»). Это был переломный момент. Когда Килеру предложили присоединиться к команде сценаристов шоу, он бросил научную работу и никогда об этом не пожалел. Килер написал сценарии для телесериалов «Крылья» (Wings) и «Критик», а затем влился в команду сценаристов мультсериала «Футурама», работая бок о бок с десятком других авторов, увлеченных математикой. Вряд ли еще где-либо в Голливуде привязанность Килера к числу 1729 получила бы столь полное понимание.

Килер внес еще один математический вклад в сериал «Футурама» – кинотеатр под названием Loews ℵ₀-Plex (кинотеатр ℵ₀-плекс Loews), который впервые появляется в эпизоде «Бешеный Бендер» (Raging Bender, сезон 2, эпизод 8; 2000 год). В ХХ веке компания Loews владела крупнейшей сетью многозальных кинотеатров (мультиплексов), но обозначение «ℵ₀-плекс» подразумевает, что в XXXI столетии масштаб ее деятельности вырос многократно. Обозначение «ℵ₀» (произносится как «алеф-ноль») – это математический символ, который представляет бесконечность. Следовательно, название кинотеатра означает, что в нем бесконечное число залов. По словам Килера, когда кинотеатр ℵ₀-плекс Loews впервые появился в «Футураме», в черновом варианте сценария был комментарий, который гласил, что этот кинотеатр с бесконечным числом залов «все равно был бы недостаточно большим, для того чтобы показать фильм “Рокки” и все его сиквелы одновременно».

Хотя символ ℵ₀ наверняка неизвестен большинству читателей, еще один символ для обозначения бесконечности – ∞ – мы все прекрасно знаем. Вы можете вполне резонно спросить, чем же они отличаются Символом ∞ обозначается общая концепция бесконечности, тогда как символ ℵ₀ применяется только к бесконечности определенного типа!

Концепция «бесконечности определенного типа» может показаться неправдоподобной, но представленная в одной из предыдущих глав история об отеле Гильберта продемонстрировала два очевидных вывода:

1. Бесконечность + 1 = бесконечность

2. Бесконечность + бесконечность = бесконечность

Вывод о том, что ничего нет больше бесконечности, а также что у всех бесконечностей, так сказать, одна и та же величина, был бы слишком прост. Однако на самом деле бесконечности бывают разных размеров, что можно продемонстрировать с помощью достаточно простого доказательства.

Давайте для начала рассмотрим множество десятичных чисел в диапазоне от 0 до 1. К ним относятся как простые десятичные числа, такие как 0,5, так и числа с гораздо большим количеством десятичных знаков, например 0,736829474638…. Очевидно, что таких десятичных чисел бесконечное множество, поскольку у любого десятичного числа (скажем, 0,9) есть число еще больше (0,99), затем еще больше (0,999) и т. д. Далее мы можем сопоставить бесконечное множество десятичных чисел от 0 до 1 с бесконечным множеством натуральных чисел 1, 2, 3, …. Одно бесконечное множество больше другого или они имеют одинаковую величину?