Симпсоны и их математические секреты

Для того чтобы определить, какая из бесконечностей больше (в случае, если это вообще возможно), давайте представим, что произойдет, если мы попытаемся сравнить все натуральные числа со всеми десятичными числами от 0 до 1. На первом этапе следует составить список всех натуральных чисел, а затем – отдельный список всех десятичных чисел от 0 до 1. В контексте данного доказательства все натуральные числа должны располагаться по порядку, тогда как десятичные могут находиться в любом порядке. Затем эти списки необходимо разместить рядом друг с другом, по принципу один к одному.

Гипотетически, если бы мы могли сопоставить натуральные и десятичные числа таким способом, то должно быть одинаковое количество чисел обоих типов, а значит, оба бесконечных множества имели бы одну и ту же величину. Однако установление такого взаимно однозначного соответствия невозможно.

Это становится очевидным на последнем этапе анализа бесконечности, который подразумевает создание числа, состоящего из первой цифры первого десятичного числа (в данном случае 7), второй цифры второго десятичного числа (5) и т. д. Это дает нам последовательность 7–5–3–4–1…. Затем, прибавив 1 к каждой цифре (0 → 1, 1 → 2, …, 9 → 0), мы получим новую последовательность: 8–6–4–5–2…. И наконец, ее можно использовать для создания десятичного числа – 0,86452….

Число 0,86452… интересно тем, что оно, по всей вероятности, не может входить в предположительно исчерпывающий список десятичных чисел от 0 до 1. На первый взгляд это утверждение кажется слишком смелым, но его можно проверить. Новое число не может быть первым числом в списке, поскольку мы знаем, что первые цифры не совпадают. Точно так же оно не может быть вторым числом в списке, потому что вторые цифры не совпадают, и т. д. В общем виде это число не может быть n-м числом в списке, так как n-е цифры не совпадают.

Незначительно измененные варианты этого доказательства могут продемонстрировать, что есть еще много других чисел, которые отсутствуют в исходном списке десятичных чисел. Иными словами, если мы попытаемся сопоставить два бесконечных множества, список десятичных чисел от 0 до 1 не может не быть неполным, предположительно потому, что бесконечное множество десятичных чисел больше бесконечного множества натуральных чисел.

Это доказательство представляет собой упрощенную версию диагонального метода Кантора – неопровержимого доказательства, опубликованного Георгом Кантором в 1892 году. Доказав, что некоторые бесконечные множества больше других, Кантор был уверен в том, что бесконечное множество натуральных чисел – это минимальная бесконечность, поэтому обозначил его как ℵ₀, где ℵ – первая буква древнееврейского алфавита. Кантор также считал, что множество десятичных чисел от 0 до 1 – это следующее по величине бесконечное множество, поэтому обозначил его как ℵ₁ (алеф-один). Поскольку существуют бесконечные множества большего размера, их было бы логично записать как ℵ₂, ℵ₃, ℵ₄,….

Таким образом, хотя в кинотеатре ℵ₀-плекс Loews из «Футурамы» бесконечное количество залов, мы теперь знаем, что это минимальное бесконечное множество. Если бы это был кинотеатр ℵ₁-плекс, в нем было бы гораздо больше залов.

В «Футураме» есть еще одна ссылка на предложенную Кантором классификацию бесконечных множеств. Математики называют множество ℵ₀ счетным бесконечным множеством, потому что оно описывает масштаб бесконечности, который ассоциируется с натуральными числами, тогда как бесконечные множества большей величины обозначаются термином «несчетные бесконечные множества». Как отметил Дэвид Х. Коэн, второй термин упоминается в эпизоде «Мебиус Дик» (Möbius Dick, сезон 6, эпизод 21; 2011 год): «Мы ненадолго попадаем в эту странную четырехмерную вселенную, где встречаем множество копий Бендера, вращающихся вокруг друг за другом, а затем он возвращается в реальный мир и говорит: “Это была самая крутая несчетная бесконечная толпа парней, которую я когда-либо встречал”».

Глава 16 Односторонняя история

В эпизоде «Мебиус Дик» космический корабль «Межпланетный экспресс» путешествует по галактике и случайно попадает в Бермудский тетраэдр, космическое кладбище десятков знаменитых исчезнувших кораблей. Экипаж «Межпланетного экспресса» решает исследовать эту область пространства, но тут на них нападает внушающий ужас четырехмерный космический кит, которому Лила дает имя Мебиус Дик.

В этом имени содержится как ссылка на роман Германа Мелвилла «Моби Дик», так и на удивительный математический объект, известный как лента Мебиуса, или петля Мебиуса. Ленту Мебиуса независимо друг от друга открыли в XIX столетии немецкие математики Август Мебиус и Иоганн Листинг. Воспользовавшись следующими простыми инструкциями, вы сами можете построить такую ленту. Вам понадобится:

1) полоска бумаги;

2) скотч.