Родился в Курской области, Грайворонский район, дер. 1-е Тополес. Из крестьянской семьи. Отец — охотник, мать — домохозяйка.
С 1907 г. работал на Харьковских предприятиях, вначале учеником, а с 1914 года — литейщиком завода двигателей.
В мае 1916 г. призван в армию, в 107-й запасный пехотный полк (Пермь), там же окончил учебную команду. В декабре 1919 г. был уличен в революционной агитации, но был предупрежден и, чтобы не быть осужденным, убежал с маршевой ротой на фронт.
20 декабря 1916 г. бежал в Румынию, был арестован, отправлен в Пермскую гарнизонную военную тюрьму. В дни Февральской революции освобожден, вернулся в 107-й запасный пехотный полк. Вел партийную и агитационную работу среди солдат.
В октябре 1917 г. избирается членом Казанского военно-окружного исполкома, в ноябре командируется в Пермь для формирования красногвардейского отряда. После сформирования 1-й Пермской красногвардейский отряд убыл на фронт.
В январе 1918 г. контужен, эвакуирован в Казань на лечение. После выздоровления служил в Красной армии на различных должностях: командиром батальона, помощником, а затем и командиром полка, бригады. Участвовал в Гражданской войне с 1921 г., был на различных участках ее фронта.
В конце 1922 г. откомандирован в Высшую тактико-стрелковую школу командного состава РККА им. III Коминтерна «Выстрел», где в 1924 г. закончил двухгодичное отделение командиров полков, оставлен при школе.
В 1924 г. назначается начальником и комиссаром Центрального учебно-опытного питомника-школы военных и спортивных собак при Стрелково-тактических курсах усовершенствования комсостава РККА им. III Интернационала (КУКС «Выстрел»).
Никита Захарович по своей военной специальности был связистом. Свое назначение он воспринял с интересом, хотя новая служба и была для него малоизвестна, но еще до назначения он имел отношение к служебному собаководству, являясь первым руководителем Центральной секции служебного собаководства при Охотсоюзе, а затем — при Осоавиахиме.
И вот, к удивлению своих друзей и знакомых, он переходит на новый участок работы с весьма неопределенным будущим, дорога к которому была полна рытвин и ухабов. Теперь-то мы знаем, что у новой специальности было многообещающее будущее, но тогда его предвидели лишь немногие, и в числе этих немногих был и Н. З. Евтушенко, большой любитель собак, горячий энтузиаст нового дела.
Никита Захарович оказался прекрасным организатором и очень скоро сумел добиться авторитета не только в школе, но и в тех органах, от которых зависело будущее Центральной школы или с которыми она должна была сотрудничать. Он много сделал не только для создания материальной базы школы, но и для популяризации нового дела.
Уже при нем школа, будучи еще, так сказать, в младенческом возрасте, начинает выходить за пределы своей ограды, принимая посильное участие в маневрах и состязаниях. Так, например, школа демонстрировала своих связных собак во время визита падишаха Афганистана Аманулла-хана в мае 1928 г. и получила благодарность.
Н. З. Евтушенко правильно понял и в основном разрешил главную задачу Центральной школы на этом этапе — подготовка руководящих кадров для окружных школ. Многие руководящие работники Центральной школы дальнейшего периода получили подготовку и путевку в жизнь под его непосредственным руководством.
Ему удалось привлечь к работе в школе таких научных работников, как профессор Н. А. Ильин и профессор Ю. А. Фролов.
Никита Захарович награжден за службу в РККА орденом Красного Знамени, часами и портсигаром. В 1929 г. он по собственному желанию из-за ухудшения состояния здоровья увольняется из Красной армии.
После увольнения работал начальником Центрального управления снабжения до 1934 г., затем перешел в Академию имени В. М. Молотова, где работал в отделе материально-технического снабжения.
С началом Великой Отечественной войны 2 июля 1941 г. Н. З. Евтушенко призывается в Красную армию и направляется в 81-ю тяжелую бомбардировочную авиадивизию ДБА начальником строевого отдела и кадров. Семь тяжелых бомбардировщиков морской авиации именно этой дивизии впервые бомбардировали Берлин в ночь с 10 на 11 августа 1941 года.
В октябре 1941 г. Никита Захарович пребывал на излечении в госпитале, затем направлен на должность орготдела тыла 42-го РАБ. В апреле 1942 года он начальник штаба 17 РАБ Брянского фронта, а после ликвидации последнего — 2-го Прибалтийского фронта, до апреля 1944 г.
После госпиталя он назначается начальником штаба 11-го аэродрома в Воронеже. В ноябре 1945 г. при расформировании 11-го аэродрома уволен из рядов Вооруженных сил по состоянию здоровья.
Награжден орденом Ленина, орденом Красного Знамени, орденом Красной Звезды, медалями «За оборону Москвы», «За победу над Германией».