Собрание Сочинений. Том 1. Произведения 1921-1941 годов.

Прежде чем его опровергать — задача, возможно, для меня непосильная, — надо бы представить себе, хотя бы поверхностно, нечеловечески огромные числа, на которые оно ссылается. Начну с атома. Диаметр атома водорода вычислен, он составляет приблизительно одну стомиллионную долю сантиметра. Эта головокружительно ничтожная величина отнюдь не означает, что атом неделим. Напротив, Резерфорд представляет нам его в виде некоей солнечной системы — центральное ядро и вращающийся вокруг него электрон, в сто тысяч раз меньший, чем весь атом. Но оставим это ядро и электрон и вообразим себе крохотную вселенную, состоящую из десятка атомов. (Разумеется, речь идет о скромной модели вселенной — невидимой, ибо микроскопы о ней и подозревать не могут; не поддающейся взвешиванию, ибо никакими весами ее не взвесить.) Предположим также — ни на йоту не отступая от гипотез Ницше, — что число изменений в этой вселенной определяется количеством комбинаций, возможных для десяти атомов, которые будут располагаться в различном порядке. Сколько разных состояний может смениться в этой вселенной, прежде чем наступит Вечное Возвращение? Рассчитать нетрудно, надо лишь перемножить 1×2×3×4×5×6×7×8×9×10 — в результате долгой, нудной операции получим число 3 628 800. Если эта почти бесконечно малая частица вселенной способна на такое множество изменений, трудно, а то и невозможно поверить в идею повторяемости космоса. Я взял десять атомов; чтобы получить два грамма водорода, нам их понадобится более миллиарда миллиардов. Вычислить количество возможных комбинаций в этих двух граммах — иначе говоря, перемножить миллиард миллиардов натуральных чисел соответственно количеству атомов, — такая операция уже далеко превосходит мои человеческие возможности.

Не знаю, убежден ли мой читатель, я-то не убежден. Беззаботное, невинное щеголянье огромными числами, несомненно, доставляет особое наслаждение, как все чрезмерное, однако Возвращение все же остается более или менее Вечным, пусть и отдаленным во времени. Ницше мог бы мне возразить: «Вращающиеся электроны Резерфорда — это для меня новость, равно как идея, для филолога возмутительная, что атом может быть расщеплен. Но, кстати говоря, я никогда не отрицал, что преобразования материи выражаются большими числами, я лишь утверждал, что они не бесконечны». Это предположительное возражение Фридриха Заратустры вынуждает меня обратиться к Георгу Кантору и его отважной теории множеств.

Кантор разрушает самую основу тезиса Ницше. Он утверждает, что число точек во Вселенной, и даже в одном метре Вселенной, или в отрезке этого метра — бесконечно. Сама операция счета — для него не что иное, как сопоставление двух рядов. Например, если в Египте первенцы были умерщвлены Ангелом во всех домах, кроме тех, где дверь была отмечена красным знаком, то, очевидно, что спаслось их столько, сколько было красных знаков, и тут вовсе не требуется высчитывать, сколько их было. Здесь количество неопределенно; есть другие группы, где оно бесконечно. Количество натуральных чисел бесконечно, но можно доказать, что нечетных столько же, сколько четных:

Единице соответствует 2

3 ” 4

5 ” 6 и т. д.

Доказательство столь же безупречное, сколь примитивное, но таким же оно будет для следующего утверждения, что для трех тысяч восемнадцати имеется столько же кратных, сколько существует чисел — не исключая из их ряда и три тысячи восемнадцать и его кратные:

Единице соответствует 3018

2 ” 6036

3 ” 9054

4 ” 12072 и т. д.

То же самое можно утверждать и о степенях этого числа, как бы они ни возрастали:

Единице соответствует 3 018

2 ” 3 018² =9 108 324

3 ” и т. д.

Гениальное толкование этих фактов подсказало формулу, гласящую, что всякий бесконечный ряд, — к примеру, натуральный ряд чисел — есть множество, которое в свой черед может состоять из бесконечных подмножеств. (Точнее, дабы избежать какой-либо неясности: бесконечное множество есть такое множество, которое может быть эквивалентно любому из своих подмножеств.) На этом высочайшем уровне счисления часть будет не меньше целого; точное количество точек, имеющихся во Вселенной, равно тому, сколько их есть в одном метре, или в одном дециметре, или в самой крутой траектории небесного тела. Ряду натуральных чисел присущ строгий порядок; элементы, его образующие, упорядочены: 28 предшествует 29-ти и следует за 27-ю. Ряд точек в пространстве (или мгновений во времени) невозможно расположить в таком порядке — ни у одного члена тут нет ни непосредственного предшественника, ни последователя. Мы тут имеем дело как бы с дробями, расположенными в ряд по величине. Какую дробь мы назовем после ½? Не ⁵¹⁄₁₀₀, потому что ¹⁰¹⁄₂₀₀ будет ближе; не ¹⁰¹⁄₂₀₀, потому что еще ближе будет ²⁰¹⁄₄₀₀; не ²⁰¹⁄₄₀₀, потому что… и т. д. То же самое, согласно Георгу Кантору, происходит с точками. Мы всегда можем втиснуть еще и еще одну, до бесконечности. Тем не менее надо стараться не воображать чисел нисходящих. Каждая точка «уже» является пределом бесконечного деления.